4 Observa-se que o ar externo a 30^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa tem ponto de orvalho de 20^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a umidade relativa, a pressão parcial do ar seco e a umidade absoluta usando apenas as equações passadas em aula. R: [UR=55,1% e w=0,01489 kg água/kg ar seco]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Temperatura do ar externo: } T = 30^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Pressão total do ar: } p = 100\\ \mathrm{kPa},\\\ &\text{Ponto de orvalho (dew point): } T_{dp} = 20^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}ã
O que se pede:
\begin{aligned} &\text{(a) Umidade relativa } \mathrm{UR} \\ (\%),\\\ &\text{(b) Pressão parcial do ar seco } p_{da}\\ (\mathrm{kPa}),\\\ &\text{\text{(c)} Umidade absoluta (razão de mistura) } w\\ \left(\mathrm{kg\\ água}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}\right). \end{aligned}ããá

Passo 2

Entendendo a relação entre ponto de orvalho e pressão parcial de vapor: o ponto de orvalho T_{dp} é a temperatura à qual o vapor d’água no ar começa a condensar; por definição, a pressão parcial real de vapor e do ar é igual à pressão de saturação à temperatura do ponto de orvalho. Ou seja,
e = e_s(T_{dp}),
onde e_s(T) é a pressão de saturação do vapor d’água à temperatura T.
Vou usar a equação de Magnus–Tetens, que é prática e muito usada em problemas de psicrometria. A fórmula é
e_s(T) = 0{,}6108\\ \exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(kPa)},
onde:
  • T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C},
  • e_s(T) é a pressão de saturação em \mathrm{kPa},
  • \exp(\cdot) é a função exponencial.
Explico por que essa fórmula dá a pressão de saturação: ela é uma aproximação empírica que fornece valores muito próximos aos tabelados para temperaturas usuais do ar ambiente (entre, digamos, -40^\circ\mathrm{C} e 50^\circ\mathrm{C}). As constantes 0{,}6108, 17{,}27 e 237{,}3 foram ajustadas para essa precisão.

Passo 3

Calcular a pressão parcial real do vapor e usando o ponto de orvalho T_{dp}=20^\circ\mathrm{C}. Aplicando a fórmula de Magnus–Tetens:
Primeiro calcule o argumento do exponencial:
\frac{17{,}27\cdot 20}{20+237{,}3} = \frac{345{,}4}{257{,}3} \approx 1{,}3425.
Agora a exponencial:
\exp(1{,}3425)\approx 3{,}828.
Finalmente,
e = e_s(20^\circ\mathrm{C}) = 0{,}6108 \times 3{,}828 \approx 2{,}338\\ \mathrm{kPa}.
Portanto a pressão parcial do vapor no ar é e \approx 2{,}338\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular a pressão de saturação à temperatura do ar T=30^\circ\mathrm{C}, necessária para obter a umidade relativa. Usando a mesma fórmula:
Calcule o argumento do exponencial:
\frac{17{,}27\cdot 30}{30+237{,}3} = \frac{518{,}1}{267{,}3} \approx 1{,}9377.
A exponencial:
\exp(1{,}9377)\approx 6{,}946.
Logo,
e_s(30^\circ\mathrm{C}) = 0{,}6108 \times 6{,}946 \approx 4{,}244\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Calcular a umidade relativa \mathrm{UR}. Definição: \mathrm{UR} é a razão entre a pressão parcial real do vapor e e a pressão de saturação à temperatura do ar e_s(T), expressa em porcentagem:
\mathrm{UR} = \frac{e}{e_s(T)}\times 100\%.
Substituindo os valores calculados:
\mathrm{UR} = \frac{2{,}338}{4{,}244}\times 100\% \approx 0{,}5510\times 100\% = 55{,}1\%.
Interpretação rápida: com essa temperatura e ponto de orvalho, o ar está com cerca de metade (55,1%) da umidade que ele poderia conter em saturação à 30^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a pressão parcial do ar seco p_{da}. A pressão total p é a soma da pressão parcial do ar seco e da pressão parcial do vapor:
p = p_{da} + e.
Portanto
p_{da} = p - e = 100{,}000\\ \mathrm{Pa} - 2{,}338\\ \mathrm{kPa}.
Convertendo consistentemente em \mathrm{kPa} e subtraindo:
p_{da} = 100\\ \mathrm{kPa} - 2{,}338\\ \mathrm{kPa} = 97{,}662\\ \mathrm{kPa}.
(ou seja, p_{da}\approx 97{,}662\\ \mathrm{kPa}).

Passo 7

Calcular a umidade absoluta (razão de mistura) w. Fórmula padrão usada em psicrometria:
w = 0{,}622\cdot\frac{e}{p - e},
onde:
  • w é a massa de água por massa de ar seco (\mathrm{kg\\ água}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco})á,
  • e é a pressão parcial do vapor (\mathrm{kPa}),
  • p é a pressão total (\mathrm{kPa}),
  • o fator 0{,}622 é a razão entre as massas molares do vapor d’água e do ar seco (aproximadamente M_v/M_{da}) e aparece ao relacionar pressões parciais com razões de massas pelo uso da equação dos gases ideais.
Agora substituímos os valores:
w = 0{,}622\cdot\frac{2{,}338}{100 - 2{,}338} = 0{,}622\cdot\frac{2{,}338}{97{,}662}.
Calcule o quociente:
\frac{2{,}338}{97{,}662}\approx 0{,}02395.
Multiplicando:
w \approx 0{,}622 \times 0{,}02395 \approx 0{,}01489\\ \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}.á

Passo 8

Resumo rápido de verificação: os valores obtidos são consistentes com os indicados na resposta do enunciado. Os passos são diretos: (i) obter e do ponto de orvalho via pressão de saturação, (ii) comparar com e_s(T) para achar \mathrm{UR}, (iii) subtrair para achar p_{da}, (iv) usar a fórmula da razão de mistura para w.

Resposta

\mathrm{UR}=55{,}1\%
p_{da}=97{,}662\\ \mathrm{kPa}
w=0{,}01489\\ \mathrm{kg\\ água/kg\\ ar\\ seco}á

Exercícios relacionados