Em uma expansão isotérmica reversível a 300 \mathrm{~K}, 1 \mathrm{~mol} de um gás ideal realiza 2,0 kJ de trabalho. Calcule o calor absorvido pelo gás e a sua variação de energia interna.

Passo 1

Dados fornecidos:
  • Temperatura: T=300\\ \mathrm{K}.
  • Quantidade de substância: n=1\\ \mathrm{mol}.
  • O gás “realiza 2,0\\ \mathrm{kJ} de trabalho” — isto significa que o trabalho realizado pelo gás é W=+2,0\\ \mathrm{kJ} (positivo porque o sistema realiza trabalho sobre o ambiente).
O que o enunciado pede:
  • Calcular o calor absorvido pelo gás Q.
  • Calcular a variação da energia interna do gás \Delta U.

Passo 2

Vamos lembrar a conservação de energia no processo (primeira lei), e definir claramente os sinais:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema.
  • Q é o calor trocado com o sistema (positivo se calor entra no sistema).
  • W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho).
A primeira lei da termodinâmica, com essa convenção de sinais, é
\Delta U = Q - W.
Explico: se o sistema recebe calor Q e realiza trabalho W, a energia interna aumenta com Q e diminui com W, daí a forma Q-W.

Passo 3

Propriedade importante para o problema: para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. Em fórmulas, uma forma comum de escrever isso é
U = c_V\, n\, T
onde c_V é a capacidade térmica molar a volume constante (ou, em outro formato, U=\dfrac{f}{2}nRT, onde f é o número de graus de liberdade). O ponto essencial é: se a temperatura não muda, a energia interna não muda.
Como o enunciado diz que a expansão é isotérmica (temperatura constante), a variação de temperatura é zero, portanto
\Delta U = 0.

Passo 4

Voltando à primeira lei, colocando \Delta U=0 obtemos
0 = Q - W.
Isolando Q,
Q = W.
Ou seja: numa transformação isotérmica de um gás ideal, o calor absorvido pelo gás é exatamente igual ao trabalho realizado pelo gás (com as convenções de sinal que usamos).

Passo 5

Agora colocamos os números. O enunciado deu W=+2,0\\ \mathrm{kJ}. Assim
Q = W = 2,0\\ \mathrm{kJ}.
Convertendo para joules, se quiser: W=2,0\\ \mathrm{kJ}=2000\\ \mathrm{J}, então Q=2000\\ \mathrm{J}.
E já tínhamos indicado que
\Delta U = 0.

Passo 6

Uma observação extra (opcional, só para você ganhar intuição): para uma expansão isotérmica reversível de gás ideal o trabalho também pode ser escrito como
W = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Se quisermos, usando W=2000\\ \mathrm{J}, n=1, R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e T=300\\ \mathrm{K}, temos
\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\frac{W}{nRT}=\frac{2000}{1\cdot 8,314\cdot 300}\approx 0,8016,
logo
\frac{V_f}{V_i}\approx e^{0,8016}\approx 2,23.
Isto indica que o volume final é cerca de 2,23 vezes o volume inicial — só para você ver como o número do trabalho se conecta com a expansão real.

Passo 7

Resumo final e um empurrãozinho: deu trabalho positivo de 2,0\\ \mathrm{kJ} e, por ser isotérmico para gás ideal, toda essa energia saiu na forma de trabalho e foi reposta pelo calor absorvido. Você já tem a resposta direta; respira, está dominando isso!

Resposta

Q = 2,0\\ \mathrm{kJ}
\Delta U = 0\\ \mathrm{kJ}

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