(Problema 4, cap. 2, Termodinâmica, M. J. de Oliveira) Um gás ideal sofre uma compressão isocórica a um volume
. Determine a variação da entropia quando a pressão passa de
até
.
Passo 1
O enunciado diz: um gás ideal sofre processo isocórico (volume fixo) até um volume
. Durante esse processo a pressão passa de
para
. A pergunta é: qual é a variação da entropia do gás,
, entre os estados inicial (com
) e final (com
)?
Informações relevantes que temos do enunciado:
- O gás é ideal.
- O processo é isocórico (o volume permanece igual a
durante a variação). - As pressões inicial e final são
e . - Não foram dados explicitamente o número de mols
nem a temperatura, então vamos expressar a resposta em termos de (número de mols) e do calor molar a volume constante (ou, alternativamente, em termos de massa e se preferir).
O que nos pediram: calcular
em função das grandezas conhecidas (podemos usar
, e a constante dos gases
quando necessário).
Passo 2
Princípio usado: a entropia é uma função de estado e a sua variação entre dois estados pode ser calculada por qualquer processo reversível que ligue esses estados. A definição diferencial útil é
onde
é o calor trocado de forma reversível e
a temperatura.
Agora, para um processo isocórico (volume fixo), o calor reversível recebido pelo gás relaciona-se com a variação de temperatura através da capacidade térmica a volume constante. Especificamente, para
mols do gás ideal, em um incremento de temperatura
temos
onde
é o calor molar a volume constante (explico rápido:
é a quantidade de calor necessária para elevar em
kelvin a temperatura de
mol do gás mantendo o volume fixo).
Justificação física breve: pela primeira lei da termodinâmica,
. Em processo isocórico
, logo
. Para gás ideal
. Daí
.
Passo 3
Agora substituímos
na expressão de
:
Integramos entre os estados inicial e final (temperaturas
e
, correspondentes a
e
):
Como
e
são constantes (modelo do gás ideal com
aproximadamente constante), podemos tirá-los fora da integral, obtendo
Passo 4
Falta relacionar as temperaturas
e
com as pressões
e
. Usamos a equação dos gases ideais:
Como o volume
e
são constantes durante o processo, temos
proporcional a
. Assim
Substituindo isso na expressão anterior para
, obtemos
Passo 5
Interpretação rápida e observação prática: a expressão acima mostra que a variação de entropia depende só da razão de pressões quando o volume é fixo. Se
(a pressão aumenta, logo a temperatura aumenta mantendo
constante), então
com
. Se o enunciado preferir a forma usando massa
e calor específico
, basta trocar
por
.