(Problema 4, cap. 2, Termodinâmica, M. J. de Oliveira) Um gás ideal sofre uma compressão isocórica a um volume V. Determine a variação da entropia quando a pressão passa de p_{1} até p_{2}.

Passo 1

O enunciado diz: um gás ideal sofre processo isocórico (volume fixo) até um volume V. Durante esse processo a pressão passa de p_{1} para p_{2}. A pergunta é: qual é a variação da entropia do gás, \Delta S, entre os estados inicial (com p_{1}) e final (com p_{2})?
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • O gás é ideal.
  • O processo é isocórico (o volume permanece igual a V durante a variação).
  • As pressões inicial e final são p_{1} e p_{2}.
  • Não foram dados explicitamente o número de mols n nem a temperatura, então vamos expressar a resposta em termos de n (número de mols) e do calor molar a volume constante C_{V} (ou, alternativamente, em termos de massa e c_{v} se preferir).
O que nos pediram: calcular \Delta S em função das grandezas conhecidas (podemos usar p_{1},p_{2},n,C_{V}, e a constante dos gases R quando necessário).

Passo 2

Princípio usado: a entropia é uma função de estado e a sua variação entre dois estados pode ser calculada por qualquer processo reversível que ligue esses estados. A definição diferencial útil é
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado de forma reversível e T a temperatura.
Agora, para um processo isocórico (volume fixo), o calor reversível recebido pelo gás relaciona-se com a variação de temperatura através da capacidade térmica a volume constante. Especificamente, para n mols do gás ideal, em um incremento de temperatura dT temos
\delta Q_{\text{rev}} = n C_{V}\, dT,
onde C_{V} é o calor molar a volume constante (explico rápido: C_{V} é a quantidade de calor necessária para elevar em 1 kelvin a temperatura de 1 mol do gás mantendo o volume fixo).
Justificação física breve: pela primeira lei da termodinâmica, dU=\delta Q-\delta W. Em processo isocórico \delta W=p\,dV=0, logo \delta Q=dU. Para gás ideal dU=nC_{V}\,dT. Daí \delta Q_{\text{rev}}=nC_{V}\,dT.

Passo 3

Agora substituímos \delta Q_{\text{rev}} na expressão de dS:
dS=\frac{n C_{V}\, dT}{T}.
Integramos entre os estados inicial e final (temperaturas \,T_{1} e T_{2}, correspondentes a p_{1} e p_{2}):
\Delta S=\int_{1}^{2} dS=\int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{n C_{V}\, dT}{T}.
Como n e C_{V} são constantes (modelo do gás ideal com C_{V} aproximadamente constante), podemos tirá-los fora da integral, obtendo
\Delta S = n C_{V} \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{dT}{T} = n C_{V} \ln\!\frac{T_{2}}{T_{1}}.

Passo 4

Falta relacionar as temperaturas T_{1} e T_{2} com as pressões p_{1} e p_{2}. Usamos a equação dos gases ideais:
pV=nRT.
Como o volume V e n são constantes durante o processo, temos T proporcional a p. Assim
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}.
Substituindo isso na expressão anterior para \Delta S, obtemos
\Delta S = n C_{V} \ln\!\frac{p_{2}}{p_{1}}.

Passo 5

Interpretação rápida e observação prática: a expressão acima mostra que a variação de entropia depende só da razão de pressões quando o volume é fixo. Se p_{2}>p_{1} (a pressão aumenta, logo a temperatura aumenta mantendo V constante), então \Delta S>0 com C_{V}>0. Se o enunciado preferir a forma usando massa m e calor específico c_{v}, basta trocar n C_{V} por m c_{v}.

Resposta

\Delta S = n C_{V} \ln\!\dfrac{p_{2}}{p_{1}}

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