Expresse a expansividade volumétrica e a compressibilidade isotérmica como funções da densidade, rho, e de suas derivadas parciais. Para a água a 50^circ C e 1 bar, kappa=44,18 times 10^-6 bar^-1. Até qual pressão a água deve ser comprimida, a 50^circ C, para variar a sua densidade em 1 % ?
Resposta: P2=226,2 bar

Passo 1

Beleza, o exercício pede duas coisas:
  1. Escrever a expansividade volumétrica β e a compressibilidade isotérmica κ em função da densidade ρ (e suas derivadas parciais).
  2. Para água a 50 °C e 1 bar (onde κ = 44,18×10⁻⁶ bar⁻¹), descobrir até que pressão a gente tem que comprimir pra mudar a densidade em 1 %.
Conteúdo: Termodinâmica de propriedades intensivas (β e κ) e integração de diferenciais para pequena variação de densidade.
O que vamos precisar:
  • Relação entre volume e densidade: .
  • Definições clássicas:

  • A relação diferencial em função de β e κ.

Passo 2

Vamos expressar β e κ trocando beta = 1Vl(partial Vpartial Tr)P = rho!l(-1rho^2partial rhopartial Tr)P = -1rho;partial rhopartial Tl)P por kappa = -1Vl(partial Vpartial Pr)T = -rho!l(-1rho^2partial rhopartial Pr)T = 1rho;partial rhopartial Pl)T .
Como , para massa fixa :
  • Derivada em relação a a pressão constante:
    .
    Então
  • Derivada em relação a a temperatura constante:
    .
    Então

Passo 3

Agora a gente lembra do diferencial total da densidade (em função de T e P):
drho = l(partial rhopartial Tr)PdT + l(partial rhopartial Pr)TdP
Dividindo ambos os lados por ρ e usando as expressões de β e κ:
drhorho = -beta,dT + kappa,dP
No nosso caso a temperatura fica fixa (50 °C), então drhorho = kappa,dP e sobra:

Passo 4

Para uma variação de 1 % na densidade, integralrho1^rho2drhorho = integralP1^P2kappa,dP Longrightarrow De.
Assumindo κ constante (valor dado), integramos
0,01 = 44,18times10^-6,(P2 - 1),
Como P2 - 1 = 0,0144,18times10^-6 approx 226,2;bar, , P2 approx 1 + 226,2 approx 227,2;bar bar e ,bar⁻¹:
Geralmente a resposta é arredondada pra , considerando que (1 bar) é pequeno diante do resultado.

Resposta

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