Expresse a expansividade volumétrica e a compressibilidade isotérmica como funções da densidade,
, e de suas derivadas parciais. Para a água a
e
. Até qual pressão a água deve ser comprimida, a
, para variar a sua densidade em
?
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, o exercício pede duas coisas:
- Escrever a expansividade volumétrica β e a compressibilidade isotérmica κ em função da densidade ρ (e suas derivadas parciais).
- Para água a 50 °C e 1 bar (onde κ = 44,18×10⁻⁶ bar⁻¹), descobrir até que pressão a gente tem que comprimir pra mudar a densidade em 1 %.
Conteúdo: Termodinâmica de propriedades intensivas (β e κ) e integração de diferenciais para pequena variação de densidade.
O que vamos precisar:
- Relação entre volume e densidade:
. - Definições clássicas:
- A relação diferencial
em função de β e κ.
Passo 2
Vamos expressar β e κ trocando
por
.
Como , para massa fixa
:
Como
- Derivada em relação a
a pressão constante:
.
Então - Derivada em relação a
a temperatura constante:
.
Então
Passo 3
Agora a gente lembra do diferencial total da densidade (em função de T e P):
Dividindo ambos os lados por ρ e usando as expressões de β e κ:
No nosso caso a temperatura fica fixa (50 °C), então
e sobra:
Passo 4
Para uma variação de 1 % na densidade,
.
Assumindo κ constante (valor dado), integramos
Assumindo κ constante (valor dado), integramos
Como
,
bar e
,bar⁻¹:
Geralmente a resposta é arredondada pra
, considerando que
(1 bar) é pequeno diante do resultado.