Se f(z)=sin z, mostre que suas partes real e imaginária são harmônicas em C. u=sin x cosh y, v=cos x sinh y, ambas harmônicas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para
f(z)=sin z, z=x+iy,
suas partes real e imaginária
u(x,y)=sin xcosh y, v(x,y)=cos xsinh y
são funções harmônicas em C.
O conteúdo envolvido é análise complexa e definições de funções harmônicas, que satisfazem a equação de Laplace.

Passo 2

Lembrando a definição: uma função w(x,y) é harmônica se
partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial y^2 = 0
Portanto vamos calcular as derivadas de segunda ordem de u e de v e verificar que cada soma é zero.

Passo 3

Calculemos as derivadas de u(x,y)=sin xcosh y:
partial upartial x =cos xcosh y, partial^2 upartial x^2 =-sin xcosh y,
partial upartial y =sin xsinh y, partial^2 upartial y^2 =sin xcosh y
Somando as derivadas de segunda ordem, temos
partial^2 upartial x^2 +partial^2 upartial y^2 =-sin xcosh y+sin xcosh y =0

Passo 4

Agora para v(x,y)=cos xsinh y:
partial vpartial x =-sin xsinh y, partial^2 vpartial x^2 =-cos xsinh y,
partial vpartial y =cos xcosh y, partial^2 vpartial y^2 =cos xsinh y
Somando, obtemos
partial^2 vpartial x^2 +partial^2 vpartial y^2 =-cos xsinh y+cos xsinh y =0

Passo 5

Como ambas as somas de derivadas de segunda ordem são nulas, concluímos que
De<a u=0 e De<a v=0,
ou seja, u e v são harmônicas em todo C.

Resposta

As funções
u(x,y)=sin xcosh y e v(x,y)=cos xsinh y
são harmônicas em C.

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