Se
, mostre que suas partes real e imaginária são harmônicas em
.
, ambas harmônicas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para
suas partes real e imaginária
são funções harmônicas em
.
O conteúdo envolvido é análise complexa e definições de funções harmônicas, que satisfazem a equação de Laplace.
O conteúdo envolvido é análise complexa e definições de funções harmônicas, que satisfazem a equação de Laplace.
Passo 2
Lembrando a definição: uma função
é harmônica se
Portanto vamos calcular as derivadas de segunda ordem de
e de
e verificar que cada soma é zero.
Passo 3
Calculemos as derivadas de
:
Somando as derivadas de segunda ordem, temos
Passo 4
Agora para
:
Somando, obtemos
Passo 5
Como ambas as somas de derivadas de segunda ordem são nulas, concluímos que
ou seja,
e
são harmônicas em todo
.
Resposta
As funções
são harmônicas em
.