O fator de compressibilidade de um gás, a 20^{\circ} \mathrm{C} e para valores de até 85 bar, é expresso por: \mathrm{z}=1-6,25 \times 10^{-3} \mathrm{p}+2,87 \times 10^{-5} \mathrm{p}^{2}, com p em bar. 5,7 moles do gás, ocupando o volume de 1,117 \mathrm{~L}, expande isotermicamente a 20^{\circ} \mathrm{C}, até triplicar o volume que ocupam. Determinar o valor da pressão a que o gás está submetido no início e ao término da expansão.

Passo 1

O enunciado fornece o fator de compressibilidade
z(p)=1-6,25\times10^{-3}\,p+2,87\times10^{-5}\,p^{2}
para um gás a 20^\circ\mathrm{C} (até 85 bar). Sabemos que, para gás real, vale
z=\frac{pV}{nRT}.
Temos n=5,7 mol, V_i=1,117 L, T=20^\circ\mathrm{C}=293,15 K, e o gás expande isotermicamente até V_f=3V_i. Vamos achar p_i e p_f resolvendo
1-6,25\times10^{-3}\,p+2,87\times10^{-5}\,p^{2} =\frac{p\,V}{nRT}
para cada volume.

Passo 2

Calcular nRT em unidades compatíveis ( L\cdot bar):
R=0,08314\;\frac{\mathrm{L\cdot bar}}{\mathrm{mol\cdot K}},\quad nRT=5,7\cdot0,08314\cdot293,15\approx138,9\;\mathrm{L\cdot bar}.

Passo 3

Para o estado inicial, V=V_i, define-se
\frac{V_i}{nRT}=\frac{1,117}{138,9}\approx0,00804.
Logo a equação fica
1-6,25\times10^{-3}p_i+2,87\times10^{-5}p_i^2 =0,00804\,p_i
ou seja
2,87\times10^{-5}p_i^2-\bigl(6,25\times10^{-3}+0,00804\bigr)p_i+1=0
2,87\times10^{-5}p_i^2-1,429\times10^{-2}p_i+1=0.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
\Delta=(1,429\times10^{-2})^2-4\cdot2,87\times10^{-5}\cdot1 \approx8,95\times10^{-5}, \quad\sqrt{\Delta}\approx9,46\times10^{-3}.
As raízes são
p_i=\frac{1,429\times10^{-2}\pm9,46\times10^{-3}}{2\cdot2,87\times10^{-5}} \;\Rightarrow\;p_i\approx414{,}8\;\text{bar ou }84{,}2\;\text{bar}.
Como o polinômio é válido até 85 bar, escolhemos
p_i\approx84,3\;\text{bar}.

Passo 5

No estado final, V=V_f=3\,V_i=3{,}351 L, tem-se
\frac{V_f}{nRT}=\frac{3,351}{138,9}\approx0,02412
e a equação
1-6,25\times10^{-3}p_f+2,87\times10^{-5}p_f^2 =0,02412\,p_f
2,87\times10^{-5}p_f^2-\bigl(6,25\times10^{-3}+0,02412\bigr)p_f+1=0
2,87\times10^{-5}p_f^2-3,037\times10^{-2}p_f+1=0.

Passo 6

De novo Bhaskara:
\Delta=(3,037\times10^{-2})^2-4\cdot2,87\times10^{-5}\cdot1 \approx8,09\times10^{-4}, \quad\sqrt{\Delta}\approx2,84\times10^{-2}.
Raízes:
p_f=\frac{3,037\times10^{-2}\pm2,84\times10^{-2}}{2\cdot2,87\times10^{-5}} \;\Rightarrow\;p_f\approx1025\;\text{bar ou }33{,}6\;\text{bar}.
Novamente dentro da validade, escolhemos
p_f\approx33,6\;\text{bar}.

Resposta

p_i\approx84{,}3\;\text{bar} p_f\approx33{,}6\;\text{bar}

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