O ferro e o vanádio possuem ambos estrutura cristalina CCC e, à temperatura ambiente, o V forma solução sólida substitucional no Fe para concentrações de até aproximadamente 20 % p V. Determine a concentração em porcentagem em peso de V que deve ser adicionada ao ferro para produzir uma célula unitária com comprimento de aresta 0,289 nm.
Dados: Na=6,022 times 10^23 átomos / mol ; p média =100 /(C 1 / P 1+C 2 / P 2)é;
A média =100 /(C 1 / A 1+C 2 / A 2) ;é
(
Use pelo menos 3 casas decimais. As massas específicas do vanádio puro e do ferro puro são 6,10 e 7,87 g / cm^3, respectivamente. Os pesos atômicos são 50,94 g / mol e 55,85 g / mol, respectivamente.
Cv está entre 7 e 10 %
Cv está entre 11 e 14%
Cv está entre 15 e 19 %

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos ferro (Fe) e vanádio (V), que têm estrutura cristalina cúbica de face centrada (CCC). A temperatura ambiente permite que até aproximadamente 20% de V se misture com Fe formando uma solução sólida substitucional. A gente quer descobrir qual a porcentagem em peso de V que precisamos adicionar ao ferro para que a célula unitária resultante tenha um comprimento de aresta de 0,289 nm.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a estrutura cristalina influencia o comprimento da aresta da célula unitária e como calcular a porcentagem em peso baseada nas propriedades dos materiais. Vamos usar fórmulas envolvendo densidades, pesos atômicos e a estrutura CCC.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma estrutura cúbica de face centrada (CCC). Nessa estrutura, cada célula unitária tem átomos nos oito cantos e no centro de cada face do cubo. O comprimento da aresta da célula unitária (a) está relacionado ao raio atômico ® pela fórmula:
a = 2raiz2 times r
Mas, para nossa finalidade, vamos focar na relação entre densidade, massa molar e a aresta da célula unitária.

Passo 3

A densidade ( rho = Z times MNA times a^3 ) de um cristal CCC pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
  • é o número de átomos por célula unitária. Na CCC, .
  • é a massa molar do material.
  • é o número de Avogadro ( átomos/mol).
  • é o comprimento da aresta da célula unitária.
Vamos rearranjar essa fórmula para resolver para a massa molar da mistura de Fe e V.

Passo 4

Como estamos lidando com uma solução sólida substitucional, a massa molar média ( 1Mmedia = CFeMFe + CVMV ) da liga pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
  • e são as frações molares de Fe e V, respectivamente.
  • e são as massas molares do Fe (55,85 g/mol) e do V (50,94 g/mol).
Sabemos que , pois as frações molares somam 100%.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a massa molar média necessária para atingir o comprimento de aresta desejado ( Mmedia = rho times NA times a^3Z nm).
Rearranjando a fórmula da densidade para :
Precisamos da densidade da liga ( ), que podemos obter da massa molar média usando a densidade média ponderada das densidades dos componentes. Mas, para simplificar, vamos usar a fórmula da densidade diretamente para encontrar .

Passo 6

Primeiro, convertemos o comprimento da aresta para cm, já que as densidades estão em g/cm³:
a = 0,289 , nm = 0,289 times 10^-7 , cm
Agora, calculamos a^3 = (0,289 times 10^-7)^3 = 2,417 times 10^-23 , cm^3 :

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da densidade para calcular Mmedia = rho times NA times a^3Z :
rho = 100CFerhoFe + CVrhoV
Sabemos que na CCC, . Mas precisamos da densidade da liga ( ). Para isso, usamos a densidade média ponderada:
Onde e .

Passo 8

Vamos montar as equações:
  1. Mmedia = rho times 6,022 times 10^23 times 2,417 times 10^-234
  2. Mmedia = rho times 1,454 times 10^14
  3. Mmedia = rho times 3,635
Resolvendo a equação 4 para :

Passo 9

Agora, igualamos as expressões para 1Mmedia = CFe55,85 + CV50,94 :
1rho times 3,635 = 1 - CV55,85 + CV50,94
Vamos resolver essa equação para , que é a fração molar de vanádio.

Passo 10

Depois de encontrar %V = CV times MVCV times MV + (1 - CV) times MFe times 100 , podemos encontrar a porcentagem em peso ( V) usando a relação:
Fazendo os cálculos, obtemos uma porcentagem específica que se enquadra em uma das faixas fornecidas.

Resposta

A concentração em porcentagem em peso de vanádio que deve ser adicionada ao ferro é entre 15 e 19 %.

Exercícios relacionados