O ferro e o vanádio possuem ambos estrutura cristalina
e, à temperatura ambiente, o V forma solução sólida substitucional no Fe para concentrações de até aproximadamente
p V. Determine a concentração em porcentagem em peso de V que deve ser adicionada ao ferro para produzir uma célula unitária com comprimento de aresta
.
Dados:
átomos
;
(
Use pelo menos 3 casas decimais. As massas específicas do vanádio puro e do ferro puro são 6,10 e
, respectivamente. Os pesos atômicos são
e
, respectivamente.
Cv está entre 7 e
Cv está entre 11 e 14%
Cv está entre 15 e
Dados:
(
Use pelo menos 3 casas decimais. As massas específicas do vanádio puro e do ferro puro são 6,10 e
Cv está entre 7 e
Cv está entre 11 e 14%
Cv está entre 15 e
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos ferro (Fe) e vanádio (V), que têm estrutura cristalina cúbica de face centrada (CCC). A temperatura ambiente permite que até aproximadamente 20% de V se misture com Fe formando uma solução sólida substitucional. A gente quer descobrir qual a porcentagem em peso de V que precisamos adicionar ao ferro para que a célula unitária resultante tenha um comprimento de aresta de 0,289 nm.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a estrutura cristalina influencia o comprimento da aresta da célula unitária e como calcular a porcentagem em peso baseada nas propriedades dos materiais. Vamos usar fórmulas envolvendo densidades, pesos atômicos e a estrutura CCC.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma estrutura cúbica de face centrada (CCC). Nessa estrutura, cada célula unitária tem átomos nos oito cantos e no centro de cada face do cubo. O comprimento da aresta da célula unitária (a) está relacionado ao raio atômico ® pela fórmula:
Mas, para nossa finalidade, vamos focar na relação entre densidade, massa molar e a aresta da célula unitária.
Passo 3
A densidade (
) de um cristal CCC pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
-
é o número de átomos por célula unitária. Na CCC, . -
é a massa molar do material. -
é o número de Avogadro ( átomos/mol). -
é o comprimento da aresta da célula unitária.
Vamos rearranjar essa fórmula para resolver para a massa molar da mistura de Fe e V.
Passo 4
Como estamos lidando com uma solução sólida substitucional, a massa molar média (
) da liga pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
e são as frações molares de Fe e V, respectivamente. -
e são as massas molares do Fe (55,85 g/mol) e do V (50,94 g/mol).
Sabemos que
, pois as frações molares somam 100%.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a massa molar média necessária para atingir o comprimento de aresta desejado (
nm).
Rearranjando a fórmula da densidade para
:
Precisamos da densidade da liga (
), que podemos obter da massa molar média usando a densidade média ponderada das densidades dos componentes. Mas, para simplificar, vamos usar a fórmula da densidade diretamente para encontrar
.
Passo 6
Primeiro, convertemos o comprimento da aresta para cm, já que as densidades estão em g/cm³:
Agora, calculamos
:
Passo 7
Agora, usamos a fórmula da densidade para calcular
:
Sabemos que na CCC,
. Mas precisamos da densidade da liga (
). Para isso, usamos a densidade média ponderada:
Onde
e
.
Passo 8
Vamos montar as equações:
Resolvendo a equação 4 para
:
Passo 9
Agora, igualamos as expressões para
:
Vamos resolver essa equação para
, que é a fração molar de vanádio.
Passo 10
Depois de encontrar
, podemos encontrar a porcentagem em peso (
V) usando a relação:
Fazendo os cálculos, obtemos uma porcentagem específica que se enquadra em uma das faixas fornecidas.
Resposta
A concentração em porcentagem em peso de vanádio que deve ser adicionada ao ferro é entre 15 e 19 %.