Foram feitas medidas da viscosidade do óleo de mamona em temperaturas na faixa entre 20 e
, sendo obtidos os resultados a seguir:
(cp)
T (Celsius)
1000
20
200
40
50
60
14
80
Determine a energia de ativação do fluxo viscoso e o fator pré-exponencial para o óleo de mamona.
|
|
T (Celsius) |
| 1000 | 20 |
| 200 | 40 |
| 50 | 60 |
| 14 | 80 |
Passo 1
O enunciado fornece quatro medidas de viscosidade do óleo de mamona em diferentes temperaturas e pede dois números: a energia de ativação do fluxo viscoso e o fator pré-exponencial. Dados fornecidos (peguei estes valores no enunciado):
-
a . -
a . -
a . -
a .
O que se pede:
- A energia de ativação do fluxo viscoso
(em J/mol ou kJ/mol). - O fator pré-exponencial
da lei de Arrhenius para a viscosidade (na mesma unidade de , aqui ).
Passo 2
Modelo físico-matemático que vamos usar (é o modelo empírico comumente adotado para dependência térmica da viscosidade):
onde:
-
é a viscosidade (aqui em ); -
é o fator pré-exponencial (mesma unidade de ); -
é a energia de ativação do fluxo (em J/mol); -
é a constante universal dos gases, ; -
é a temperatura absoluta (em kelvin).
Explicação curta do porquê: ao tomar logaritmo natural, essa equação fica linear em
, o que permite obter
e
ajustando uma reta aos dados:
Nessa forma,
e
; a inclinação da reta é
e o intercepto é
.
Passo 3
Converter as temperaturas para kelvin e calcular
. As temperaturas dadas em Celsius foram transformadas usando
.
Dados transformados (peguei as temperaturas no enunciado e somei
):
- Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
(As inversas estão arredondadas com precisão suficiente para cálculo manual e interpretação.)
Passo 4
Calcular os logaritmos naturais das viscosidades (peguei os valores de
na tabela):
Passo 5
Escolha do método numérico: com a relação linear
versus
é comum ajustar uma reta por mínimos quadrados. Para uma resolução de prova rápida e robusta, usar os pontos extremos (primeiro e último) para calcular a inclinação dá um valor confiável porque maximiza a alavanca dos dados (menor sensibilidade a pequenos erros de arredondamento). Vou então calcular a inclinação usando os pontos 1 e 4:
Numéricos (peguei os
e os
calculados acima):
Passo 6
Relacionar a inclinação com
: como
, segue
É comum expressar em kJ/mol:
Passo 7
Determinar o fator pré-exponencial
. Usando a forma linear
, escolho um ponto (por exemplo o primeiro) para achar
:
Substituindo os números (usei o valor da inclinação já calculado
e
):
Logo
Passo 8
Verificação rápida (controle razoável): prever
em
usando os parâmetros obtidos:
que está muito próximo do valor experimental
. Isso indica consistência do ajuste.