2.5 A força de 1.330 N deve ser decomposta em componentes ao longo das linhas a-a^{\prime} e b-b^{\prime}. (a) Usando trigonometria, determine o ângulo \alpha sabendo que o componente ao longo de a-a^{\prime} é 530 N . (b) Qual é o valor correspondente do componente ao longo de b-b^{\prime} ?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei estes números e o ângulo indicado na figura fornecida):
  • Força resultante: \,F=1{,}330\\ \text{N}.
  • Componente da força ao longo da linha a\!-\!a': 530\\ \text{N}.
  • A linha b\!-\!b' forma um ângulo de 60^\circ com a linha a\!-\!a' (conforme indicado na figura).
    As perguntas são:
    (a) Determinar o ângulo \alpha (o ângulo entre a força e a linha a\!-\!a') sabendo que o componente ao longo de a\!-\!a' vale 530\\ \text{N}.
    (b) Determinar o valor do componente da força ao longo da linha b\!-\!b'.

Passo 2

Entender o que significa “componente ao longo de uma linha” e a fórmula básica de projeção.
  • Se uma força tem módulo F e forma um ângulo \theta com uma direção escolhida, o componente da força nessa direção (isto é, a projeção escalar) é dado por
\text{componente} = F\cos(\theta).
Aqui cada símbolo significa:
  • F: módulo da força total.
  • \theta: ângulo entre a força e a direção considerada.
  • \cos: função cosseno (relação trigonométrica que dá a razão entre a projeção adjacente e a hipotenusa num triângulo retângulo).
    No nosso caso, para a linha a\!-\!a' vale
530 = F\cos(\alpha).

Passo 3

Usar a equação de projeção para encontrar \alpha.
  • Substituindo F=1{,}330\\ \text{N} e a componente 530\\ \text{N} na fórmula:
530 = 1{,}330\cos(\alpha).
  • Isolando \cos(\alpha):
\cos(\alpha)=\frac{530}{1{,}330}=\frac{53}{133}\approx 0{,}398496\ldots
  • Agora \alpha é o arco-cosseno desse número:
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{53}{133}\right).
Calcule (usar tabela ou calculadora de arccoseno): isso dá aproximadamente
\alpha\approx 66{,}4^\circ.

Passo 4

Breve comentário de interpretação (ajuda para entender o passo seguinte).
  • A figura mostra a força dirigindo-se para cima e para a esquerda. Se tomarmos a direção positiva de a\!-\!a' para a direita, o ângulo geométrico da força em relação ao eixo positivo x (direção de a\!-\!a' para a direita) é
\theta_F = 180^\circ - \alpha,
pois \alpha foi medido entre a força e a direção para a esquerda. Numericamente:
\theta_F \approx 180^\circ - 66{,}4^\circ = 113{,}6^\circ.

Passo 5

Determinar a componente ao longo de b\!-\!b'.
  • A linha b\!-\!b' tem ângulo \theta_b=60^\circ em relação à direção positiva de a\!-\!a'.
  • A componente da força ao longo de b\!-\!b' é dada por projeção com o cosseno da diferença angular:
\text{componente ao longo de } b\!-\!b' = F\cos\!\big(\theta_F-\theta_b\big).
  • Substituindo os valores numéricos:
\theta_F-\theta_b \approx 113{,}6^\circ - 60^\circ = 53{,}6^\circ.
Logo
\text{componente}_{b\!-\!b'} = 1{,}330\cos(53{,}6^\circ).

Passo 6

Cálculo numérico final da componente em b\!-\!b'.
  • Avaliando o cosseno e multiplicando:
\cos(53{,}6^\circ)\approx 0{,}5929\quad\Rightarrow\quad \text{componente}_{b\!-\!b'} \approx 1{,}330\times 0{,}5929 \approx 788{,}8\\ \text{N}.
Arredondando de forma razoável:
\text{componente}_{b\!-\!b'} \approx 789\\ \text{N}.

Resposta

\alpha \approx 66{,}4^\circ
Componente ao longo de b\!-\!b': 789\\ \text{N}