- QUAL É A FÓRMULA DO CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UMA CORRENTE ELÉTRICA NO CENTRO DE UMA BOBINA CHATA, E NOMINE CADA COMPONENTE DA FÓRMULA E DE A SUA UNIDADE?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- A fórmula do campo magnético gerado por uma corrente elétrica no centro de uma bobina chata (isto é, uma espira circular plana) — considerar também o caso de várias espiras se for relevante.
- Nomear cada componente da fórmula e dar a sua unidade.
Informações implícitas que vou usar (sem pedir nada a você): a bobina é uma espira circular de raio
, percorrida por uma corrente
. Se a bobina tiver
espiras muito próximas formando uma “bobina chata” de
voltas, o campo no centro se multiplica por
. Também apresentarei a fórmula geral ao longo do eixo da espira (distância
do centro) e mostrarei o caso especial no centro (
).
Passo 2
Apresentando a lei fundamental que dá origem à fórmula (a fórmula será derivada a partir dela): a Lei de Biot–Savart descreve o campo magnético diferencial gerado por um elemento de corrente. Em forma vetorial:
Explicando cada símbolo (aqui é importante entender o que cada coisa significa e sua unidade):
-
: contribuição infinitesimal do campo magnético (unidade: tesla, ). -
: permeabilidade do vácuo, constante física (valor numérico em SI: ). Outra unidade habitual é , que é equivalente. -
: corrente elétrica que percorre a espira (unidade: ampère, ). -
: vetor elemento de comprimento da fio apontando na direção da corrente (unidade: metro, ). -
: vetor unitário que vai do elemento de corrente até o ponto onde se calcula o campo (sem unidade). -
: distância do elemento de corrente ao ponto (unidade: metro, ). -
indica produto vetorial (direção dada pela regra da mão direita).
Comentário de didática: a Lei de Biot–Savart é análoga à lei de Coulomb para cargas, mas aqui cada pequeno trecho de corrente produz um pequeno campo magnético que se soma vetorialmente ao longo da espira.
Passo 3
Aplicando a Lei de Biot–Savart ao caso da espira circular no seu centro. Estratégia: usar simetria. No centro da espira:
- A distância de qualquer elemento da espira até o centro vale
. - Para uma espira plana, o produto vetorial tem direção perpendicular ao plano da espira (toda contribuição tem a mesma direção), então as componentes tangenciais se cancelam por simetria e resta apenas o componente axial (perpendicular ao plano).
Cálculo passo a passo (magnitude):
- O módulo do produto vetorial é
. No centro então , logo o módulo é . - Substituindo na expressão escalar do módulo:
- Integrando ao longo de toda a espira:
integra para o comprimento total . Assim
- Simplificando:
Direção: pelo produto vetorial e pela regra da mão direita, o vetor
aponta ao longo do eixo que atravessa o centro da espira, perpendicular ao plano da espira. O sentido depende do sentido da corrente (use a regra da mão direita: polegar aponta para o sentido do eixo e dedos enrolados dão o sentido da corrente, ou vice-versa).
Passo 4
Generalizando para o caso de
espiras muito próximas (uma bobina chata com
voltas idênticas e concêntricas): cada espira contribui igualmente no centro, então as contribuições somam linearmente:
Isso é útil em problemas de laboratório/prova quando a bobina tem várias voltas.
Também vale a pena mostrar a fórmula no ponto do eixo a uma distância
do centro (fórmula útil para outras perguntas; no centro pega-se
):
Para
esta expressão dá
confirmando o resultado do centro. Para
espiras, multiplica-se por
:
.
Passo 5
Unidades e análise dimensional (para ter certeza rápida na prova):
- Unidade de
(campo magnético): tesla, . - Verificação dimensional de
: -
tem unidades , -
tem unidade , -
tem unidade . - Logo
tem unidade , como desejado.
-
- Valor numérico útil:
(no SI). Assim, para estimativas rápidas, substitua esse valor.
Passo 6
Resumo de como usar isso na prova (dicas práticas):
- Identifique se a bobina é uma única espira ou várias espiras; se
espiras, multiplique por . - Verifique unidade de
(em metros) e (em ampères) antes de aplicar a fórmula. - Lembre-se da direção do campo: perpendicular ao plano da espira; use a regra da mão direita para o sentido.
- Se o enunciado pede o campo fora do centro sobre o eixo, use
(e multiplique por se for o caso).
Resposta
Onde:
é a permeabilidade do vácuo (
);
é a corrente elétrica (unidade:
);
é o raio da espira (unidade:
);
é o número de espiras (adimensional);
é a distância ao longo do eixo da espira medida a partir do centro (unidade:
);
é o módulo do campo magnético (unidade:
).