1. QUAL É A FÓRMULA DO CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UMA CORRENTE ELÉTRICA NO CENTRO DE UMA BOBINA CHATA, E NOMINE CADA COMPONENTE DA FÓRMULA E DE A SUA UNIDADE?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • A fórmula do campo magnético gerado por uma corrente elétrica no centro de uma bobina chata (isto é, uma espira circular plana) — considerar também o caso de várias espiras se for relevante.
  • Nomear cada componente da fórmula e dar a sua unidade.
Informações implícitas que vou usar (sem pedir nada a você): a bobina é uma espira circular de raio R, percorrida por uma corrente I. Se a bobina tiver N espiras muito próximas formando uma “bobina chata” de N voltas, o campo no centro se multiplica por N. Também apresentarei a fórmula geral ao longo do eixo da espira (distância x do centro) e mostrarei o caso especial no centro ( x=0).

Passo 2

Apresentando a lei fundamental que dá origem à fórmula (a fórmula será derivada a partir dela): a Lei de Biot–Savart descreve o campo magnético diferencial gerado por um elemento de corrente. Em forma vetorial:
d\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}.
Explicando cada símbolo (aqui é importante entender o que cada coisa significa e sua unidade):
  • \,d\mathbf{B}: contribuição infinitesimal do campo magnético (unidade: tesla, \mathrm{T}).
  • \,\mu_0: permeabilidade do vácuo, constante física (valor numérico em SI: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}). Outra unidade habitual é \mathrm{N/A^2}, que é equivalente.
  • \,I: corrente elétrica que percorre a espira (unidade: ampère, \mathrm{A}).
  • \,d\boldsymbol{\ell}: vetor elemento de comprimento da fio apontando na direção da corrente (unidade: metro, \mathrm{m}).
  • \,\hat{\mathbf{r}}: vetor unitário que vai do elemento de corrente até o ponto onde se calcula o campo (sem unidade).
  • \,r: distância do elemento de corrente ao ponto (unidade: metro, \mathrm{m}).
  • \times indica produto vetorial (direção dada pela regra da mão direita).
Comentário de didática: a Lei de Biot–Savart é análoga à lei de Coulomb para cargas, mas aqui cada pequeno trecho de corrente produz um pequeno campo magnético que se soma vetorialmente ao longo da espira.

Passo 3

Aplicando a Lei de Biot–Savart ao caso da espira circular no seu centro. Estratégia: usar simetria. No centro da espira:
  • A distância de qualquer elemento da espira até o centro vale r=R.
  • Para uma espira plana, o produto vetorial tem direção perpendicular ao plano da espira (toda contribuição tem a mesma direção), então as componentes tangenciais se cancelam por simetria e resta apenas o componente axial (perpendicular ao plano).
Cálculo passo a passo (magnitude):
  • O módulo do produto vetorial é |d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}| = d\ell\sin\theta. No centro \theta=90^\circ então \sin\theta=1, logo o módulo é d\ell.
  • Substituindo na expressão escalar do módulo:
dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\ell}{R^{2}}.
  • Integrando ao longo de toda a espira: d\ell integra para o comprimento total 2\pi R. Assim
B=\int dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi R^{2}}\int_{0}^{2\pi R} d\ell =\frac{\mu_0 I}{4\pi R^{2}}\,(2\pi R).
  • Simplificando:
B=\frac{\mu_0 I}{2R}.
Direção: pelo produto vetorial e pela regra da mão direita, o vetor \mathbf{B} aponta ao longo do eixo que atravessa o centro da espira, perpendicular ao plano da espira. O sentido depende do sentido da corrente (use a regra da mão direita: polegar aponta para o sentido do eixo e dedos enrolados dão o sentido da corrente, ou vice-versa).

Passo 4

Generalizando para o caso de N espiras muito próximas (uma bobina chata com N voltas idênticas e concêntricas): cada espira contribui igualmente no centro, então as contribuições somam linearmente:
B=\frac{\mu_0 N I}{2R}.
Isso é útil em problemas de laboratório/prova quando a bobina tem várias voltas.
Também vale a pena mostrar a fórmula no ponto do eixo a uma distância x do centro (fórmula útil para outras perguntas; no centro pega-se x=0):
B(x)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\left(R^{2}+x^{2}\right)^{3/2}}.
Para x=0 esta expressão dá
B(0)=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2R^{3}}=\frac{\mu_0 I}{2R},
confirmando o resultado do centro. Para N espiras, multiplica-se por N: B_N(x)=N B(x).

Passo 5

Unidades e análise dimensional (para ter certeza rápida na prova):
  • Unidade de B (campo magnético): tesla, \mathrm{T}.
  • Verificação dimensional de \dfrac{\mu_0 I}{2R}:
    • \mu_0 tem unidades \mathrm{T\cdot m/A},
    • I tem unidade \mathrm{A},
    • R tem unidade \mathrm{m}.
    • Logo \dfrac{\mu_0 I}{R} tem unidade \mathrm{T}, como desejado.
  • Valor numérico útil: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} (no SI). Assim, para estimativas rápidas, substitua esse valor.

Passo 6

Resumo de como usar isso na prova (dicas práticas):
  • Identifique se a bobina é uma única espira ou várias espiras; se N espiras, multiplique por N.
  • Verifique unidade de R (em metros) e I (em ampères) antes de aplicar a fórmula.
  • Lembre-se da direção do campo: perpendicular ao plano da espira; use a regra da mão direita para o sentido.
  • Se o enunciado pede o campo fora do centro sobre o eixo, use B(x)=\dfrac{\mu_0 I R^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}} (e multiplique por N se for o caso).

Resposta

B_{\text{centro, uma espira}}=\frac{\mu_0 I}{2R}
B_{\text{centro, }N\\ \text{espiras}}=\frac{\mu_0 N I}{2R}
B_{\text{eixo a distância }x}=\frac{\mu_0 I R^{2}}{2\left(R^{2}+x^{2}\right)^{3/2}}â
Onde:
\mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A});
I é a corrente elétrica (unidade: \mathrm{A});
R é o raio da espira (unidade: \mathrm{m});
N é o número de espiras (adimensional);
x é a distância ao longo do eixo da espira medida a partir do centro (unidade: \mathrm{m});
B é o módulo do campo magnético (unidade: \mathrm{T}).

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