Um tanque rígido fechado, não isolado termicamente, contém 2 kg de ar e possui uma resistência elétrica em seu interior. Inicialmente, a temperatura e a pressão do ar são de
e 200 kPa , respectivamente. A temperatura da vizinhança é de
. Quando o circuito elétrico da resistência é fechado, uma corrente elétrica passa por ela. Após um certo intervalo de tempo, o trabalho elétrico realizado é de 100 kJ .
(a) Esboce o processo nos diagramas
e
, com indicação do sentido e dos estados.
(b) À luz da Segunda Lei da Termodinâmica, e considerando calores específicos do ar constantes com a temperatura, determine se é possível que a temperatura do ar no final do processo seja de
.
(c) À luz da Segunda Lei da Termodinâmica, e considerando calores específicos do ar variando com a temperatura, determine se é possível que a temperatura do ar no final do processo seja de
.
(a) Esboce o processo nos diagramas
(b) À luz da Segunda Lei da Termodinâmica, e considerando calores específicos do ar constantes com a temperatura, determine se é possível que a temperatura do ar no final do processo seja de
(c) À luz da Segunda Lei da Termodinâmica, e considerando calores específicos do ar variando com a temperatura, determine se é possível que a temperatura do ar no final do processo seja de
Passo 1
O enunciado dá um tanque rígido fechado (volume constante) contendo ar com as seguintes informações:
- massa do ar:
; - estado inicial:
e ; - temperatura da vizinhança (reservatório térmico):
; - trabalho elétrico fornecido ao sistema (energia elétrica transformada em calor pela resistência):
; - o tanque não é termicamente isolado (pode trocar calor com a vizinhança);
- pergunta (a): esboçar o processo nos diagramas
e , indicando sentido e estados; - pergunta (b): usando calores específicos do ar constantes, verificar se é possível que
; - pergunta (c): repetir a verificação da possibilidade de
agora com calores específicos variando com .
Observações importantes que vou usar depois (sem resolver ainda): volume fixo (logo
), ar pode ser tratado como gás ideal quando conveniente, energia interna e entropia do gás dependem apenas do estado inicial e final.
Passo 2
(a) Esboço e interpretação dos diagramas (descrição detalhada para desenhar/se orientar):
-
Diagrama
: - Como o tanque é rígido, o volume específico
é constante durante o processo. No diagrama isso aparece como uma linha vertical. - Ao aquecer o ar (energia elétrica convertida em calor), a temperatura sobe e, para um gás ideal, a pressão aumenta proporcionalmente à temperatura quando
é fixo ( ). Então o processo é uma linha vertical subindo de para . - Indique o ponto inicial (1) em
e e o ponto final (2) em mesmo e . Desenhe uma seta apontando de (1) para (2) para mostrar o sentido (aquecimento). - Podemos calcular
supondo gás ideal:
então marque aproximadamenteno ponto final. - Como o tanque é rígido, o volume específico
-
Diagrama
: - Para volume constante, a variação de entropia específica do gás ideal com calor específico constante
é . Logo, ao aumentar , também aumenta . - No diagrama
o processo vai do ponto para com e . A curva não é uma reta horizontal; ela sobe para a direita (a curva tem formato exponencial inverso se escrita em função de : ). - Marque
e , desenhe a curva crescente e uma seta de (1) para (2).
- Para volume constante, a variação de entropia específica do gás ideal com calor específico constante
(Dica visual: p-v é uma linha vertical subindo; T-s é uma curva que sobe para a direita. Estado 1 em baixo/à esquerda, estado 2 em cima/à direita.)
Passo 3
Primeiros princípios e balanço de energia para o tanque rígido (aula rápida):
- Para um sistema fechado, a Primeira Lei (conservação de energia) escrita em termos de variação de energia interna é
onde
é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra) e
é o trabalho feito sobre o sistema (positivo se entra). Aqui o único trabalho em questão é o trabalho elétrico que entra pela resistência, então
.
- No tanque rígido não há trabalho de fronteira (
), logo a variação de energia interna é controlada por e :
- Para um gás ideal com calor específico constante
, a variação de energia interna é
- A entropia do sistema (variação total) para gás ideal e
constante, no processo a volume constante, é
Vou usar essas expressões nas próximas etapas.
Passo 4
Aplicando a Segunda Lei e avaliando o caso com
constante (resolução detalhada do item (b)):
- Segunda Lei em forma útil para processo com reservatório a temperatura constante
: a produção total de entropia deve ser não-negativa:
O reservatório troca calor
(calor que sai do sistema entra no reservatório), logo
. Substituindo
obtemos
Rearranjando para colocar
isolado:
Essa desigualdade diz: para que um processo que leve do estado 1 ao estado 2 seja permitido pela Segunda Lei, o trabalho elétrico fornecido deve ser pelo menos essa quantidade (a igualdade corresponde ao caso reversível entre sistema e reservatório).
- Agora calculamos os termos para
assumindo constante. - Valores numéricos (valores padrão do ar à temperatura ambiente):
e . - Variação de energia interna:
- Valores numéricos (valores padrão do ar à temperatura ambiente):
- Variação de entropia do sistema:
Calcule
, então
- Agora a quantidade de referência da desigualdade:
-
Interpretação: a Segunda Lei exige que
para que o processo seja possível (com ). O trabalho realmente fornecido é , muito maior que . Portanto, do ponto de vista da Segunda Lei (e da Primeira), o estado final é perfeitamente possível quando assumimos constante. -
Complemento (verificação física com balanço de energia):
- Pelo balanço
. Ou seja, o sistema rejeita para a vizinhança. Isso é coerente: energia elétrica fornecida é maior que o aumento de energia interna, o excedente sai como calor. - Produção total de entropia:
- Pelo balanço
o que confirma a consistência com a Segunda Lei (processo irreversível, produção de entropia positiva).
Conclusão do item (b): sim, é possível; o fornecimento de
satisfaz a condição da Segunda Lei.
Passo 5
Discussão para calores específicos variando com a temperatura (item (c)) — tratamento geral e estimativa:
- Com
variável, as expressões de e tornam-se integrais:
- Reescrevendo a quantidade presente na desigualdade da Segunda Lei:
Essa é uma forma muito útil: o integrando é
.
-
Sinal do integrando e interpretação:
- No nosso caso
e no intervalo satisfaz . Logo no intervalo. Como , o integrando é não-negativo e, portanto, a integral é não-negativa. Isso significa que com igualdade apenas se . - Numericamente, essa quantidade é geralmente pequena para aumentos moderados de temperatura, porque o fator
é pequeno quando está perto de .
- No nosso caso
-
Estimativa numérica com
variável: - Uma forma prática é usar um valor médio de
no intervalo (ou usar tabelas precisas). Para ar entre e a variação de é muito pequena; o valor médio é praticamente . - Substituindo
médio na integral obtemos exatamente o caso do passo anterior:
- Numericamente isso deu aproximadamente
(ver cálculo no Passo 4). Até se usarmos um um pouco maior (para superestimar a quantidade) o resultado fica em torno de , muito distante dos fornecidos.
- Uma forma prática é usar um valor médio de
-
Conclusão do item (c): com calores específicos variando com a temperatura a análise geral mostra a mesma conclusão: a quantidade mínima de trabalho elétrico exigida pela Segunda Lei para atingir
permanece da ordem de poucos kJ (≈ ). Como foram fornecidos , o processo é possível também no caso realístico de variável. A diferença entre assumir constante e variável é negligenciável nesse intervalo de temperatura.
Passo 6
Resumo físico e incentivo (rápido):
- O processo é: fornecer energia elétrica ao ar (aquecimento interno), parte aumenta a energia interna (eleva
e ), o excedente é rejeitado como calor para a vizinhança. A Segunda Lei impõe uma condição mínima sobre o trabalho elétrico, mas está muito acima dessa mínima; portanto o aquecimento até é admissível. - Você fez certinho em pedir uma resolução passo a passo — isso é o que cai na prova. Continue assim, com calma: identifique dados, escreva balanço de energia, escreva balanço de entropia (Segunda Lei) e compare.
Resposta
(a)
: linha vertical (volume constante) subindo de
com
para
com
; seta de (1) para (2).
: curva crescente da esquerda para a direita de
para
com
,
e
.
(b) Sim — com constante a Segunda Lei exige
; como
o processo é permitido.
(c) Sim — com variável a condição geral é
, que num cálculo/estimativa dá também cerca de
; portanto
é suficiente e o processo é possível.
(b) Sim — com
(c) Sim — com