O processo de geração de potência em um motor de combustão interna a gasolina, que é realizado pelos gases de combustão a alta temperatura e pressão, pode ser modelado como a expansão adiabática e reversível do ar no ciclo Otto ideal. O processo se inicia no Estado 3 (ponto de maior temperatura e pressão) e se encerra no Estado 4 (fim da expansão). Se a razão de compressão desse motor for
(ou seja,
), determine a temperatura do ar no final da expansão (
) se as condições iniciais (Estado 3) forem
e
, considerando:
(a) Calores específicos do ar como constantes, usando as propriedades avaliadas a uma temperatura de referência de 1000 K .
(b) Calores específicos do ar variando com a temperatura.
(c) Qual resultado é mais preciso e por que?
(a) Calores específicos do ar como constantes, usando as propriedades avaliadas a uma temperatura de referência de 1000 K .
(b) Calores específicos do ar variando com a temperatura.
(c) Qual resultado é mais preciso e por que?
Passo 1
O enunciado pede a temperatura final do ar na expansão adiabática e reversível do Estado 3 ao Estado 4 no ciclo Otto, com razão de compressão
(isto é,
), sabendo que no Estado 3 temos
e
. As perguntas são:
(a) calcular supondo calores específicos constantes avaliados em
;
(b) calcular considerando calores específicos variando com a temperatura;
(c) dizer qual resultado é mais preciso e por quê.
(a) calcular
(b) calcular
(c) dizer qual resultado é mais preciso e por quê.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
,
,
.
Informação adicional que usarei (valores típicos para ar): o gás perfeito ideal para ar com constante gás . Para o item (a) vou usar o valor de
avaliado em
:
.
A resolução começa no Passo 2.
Informação adicional que usarei (valores típicos para ar): o gás perfeito ideal para ar com constante gás
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Conceito físico e fórmula para expansão adiabática reversível (isentrópica) com calores específicos constantes.
Expansão adiabática e reversível de um gás ideal implica entropia constante. Quando assumimos calores específicos constantes (modelo simples), existe a relação bem conhecida entre temperaturas e volumes:
Expansão adiabática e reversível de um gás ideal implica entropia constante. Quando assumimos calores específicos constantes (modelo simples), existe a relação bem conhecida entre temperaturas e volumes:
onde
é a razão de calores específicos
e, como
, podemos escrever
Explicando as variáveis:
e
são temperaturas absoluta nos estados 3 e 4;
é a razão volumétrica
;
é calor específico a pressão constante (em
);
é calor específico a volume constante;
é a constante do gás por unidade de massa para o ar. Essa fórmula é simples de aplicar na prova: calcule
com
dado, eleve
à potência
e divida
por esse fator.
Passo 3
Aplicando o método (a) com calor específico constante avaliado em
.
Usando os valores:
Calcule
e
:
Agora calcule o expoente
e a potência
:
Compute numericamente (mostrando passos de conta mental/prova):
Finalmente,
Resultado do item (a):
Passo 4
Explicando a forma correta (mais geral) quando
varia com a temperatura.
Para um gás ideal com variável, a condição de processo adiabático e reversível é conservação da entropia, que se escreve
Para um gás ideal com
Como
para gás ideal, e
, temos
Substituindo isso na equação da entropia obtemos a equação que relaciona
e
com
:
Essa equação é implícita em
(aparece dentro da integral e no log) e geralmente exige solução numérica. Na prova, um procedimento prático é:
- obter uma forma de
(tabela ou polinômio tipo NASA); - resolver a equação numericamente (método iterativo ou calcular a integral numericamente para cada chute de
).
Vou mostrar uma forma prática e didática de resolver por iteração simples usando uma aproximação linear para
entre
e
. Isso é razoável quando não temos na prova a tabela completa, e ilustra o método.
Passo 5
Implementando iteração prática (aproximação linear de
):
-
Escolha um chute inicial para
. Usamos o resultado do item (a) como chute: . -
Aproximação linear para
entre e : supondo valores típicos para ar,
e tomamos um valor representativo em
,
Com isso, assumimos
aproximadamente linear entre esses pontos; a razão (coeficiente angular) é
Então, estimamos
no extremo inferior
por extrapolação a partir de
:
- Calcule o
médio entre e (aproximação da integral):
Com
podemos aproximar
Substituindo na equação de entropia:
Isolando em termos de
:
logo
Dessa forma obtemos um novo valor
:
- Substituindo números:
Passo 6
Iteração rápida para convergência (mostrando que o método estabiliza):
Use e reavalie
no ponto inferior:
Use
Média entre
e
dá
. Repetindo o cálculo acima com
resulta em
muito próximo de
. Após mais uma iteração os valores praticamente não mudam (convergência rápida). Portanto, com
variável (aproximação linear usada aqui), obtemos:
Observação importante: este procedimento usa uma aproximação linear para
e média para a integral; em uma solução mais precisa usaríamos tabelas ou polinômios (NASA/JANAF) para
e integração numérica direta, o que daria um resultado muito próximo desse, talvez com pequena diferença. A ideia aqui é mostrar o método que você pode aplicar na prova se tiver uma tabela ou se for pedido método iterativo.
Passo 7
Comparação dos resultados e justificativa de precisão.
Resultado (a) com
constante em
:
.
Resultado (b) com variável (aproximação iterativa):
.
Resultado (b) com
Qual é mais preciso e por quê?
- O resultado do item (b) é mais preciso porque na prática o calor específico do ar varia com a temperatura (aumenta à medida que a temperatura sobe). Como no processo nós variamos de
até cerca de , a dependência de com é significativa. Usar constante avaliado a é uma aproximação; ela dá uma diferença de algumas dezenas de kelvins (neste caso cerca de ) para . Portanto, quando se busca precisão (e quando se tem tabelas/polínios para ), deve-se usar a integral que leva em conta .
Resposta
(a)
.\n(b)
.\n(c) O resultado do item (b) é mais preciso, porque considera a variação real de
com a temperatura;
aumenta com
e essa variação afeta a relação isentrópica, logo o cálculo com
reduz o erro (a diferença aqui é da ordem de
).