O processo de geração de potência em um motor de combustão interna a gasolina, que é realizado pelos gases de combustão a alta temperatura e pressão, pode ser modelado como a expansão adiabática e reversível do ar no ciclo Otto ideal. O processo se inicia no Estado 3 (ponto de maior temperatura e pressão) e se encerra no Estado 4 (fim da expansão). Se a razão de compressão desse motor for r=8 (ou seja, V_{4} / V_{3}=8 ), determine a temperatura do ar no final da expansão ( T_{4} ) se as condições iniciais (Estado 3) forem T_{3}=1700 \mathrm{~K} e P_{3}=8 \mathrm{MPa}, considerando:
(a) Calores específicos do ar como constantes, usando as propriedades avaliadas a uma temperatura de referência de 1000 K .
(b) Calores específicos do ar variando com a temperatura.
(c) Qual resultado é mais preciso e por que?

Passo 1

O enunciado pede a temperatura final do ar na expansão adiabática e reversível do Estado 3 ao Estado 4 no ciclo Otto, com razão de compressão r=8 (isto é, \,V_{4}/V_{3}=8), sabendo que no Estado 3 temos T_{3}=1700\\ \mathrm{K} e P_{3}=8\\ \mathrm{MPa}. As perguntas são:
(a) calcular T_{4} supondo calores específicos constantes avaliados em 1000\\ \mathrm{K};
(b) calcular T_{4} considerando calores específicos variando com a temperatura;
(c) dizer qual resultado é mais preciso e por quê.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\;r = 8, \;T_{3} = 1700\\ \mathrm{K}, \;P_{3} = 8\\ \mathrm{MPa}.
Informação adicional que usarei (valores típicos para ar): o gás perfeito ideal para ar com constante gás R = 0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Para o item (a) vou usar o valor de c_{p} avaliado em 1000\\ \mathrm{K}: \;c_{p}(1000\\ \mathrm{K}) = 1{,}148\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Conceito físico e fórmula para expansão adiabática reversível (isentrópica) com calores específicos constantes.
Expansão adiabática e reversível de um gás ideal implica entropia constante. Quando assumimos calores específicos constantes (modelo simples), existe a relação bem conhecida entre temperaturas e volumes:
T_{4} \;=\; T_{3}\; r^{-(\gamma-1)}
onde \gamma é a razão de calores específicos
\gamma \;=\; \frac{c_{p}}{c_{v}}
e, como c_{v} = c_{p} - R, podemos escrever
\gamma \;=\; \frac{c_{p}}{c_{p}-R}.
Explicando as variáveis: T_{3} e T_{4} são temperaturas absoluta nos estados 3 e 4; r é a razão volumétrica \,V_{4}/V_{3}; c_{p} é calor específico a pressão constante (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}); c_{v} é calor específico a volume constante; R é a constante do gás por unidade de massa para o ar. Essa fórmula é simples de aplicar na prova: calcule \gamma com c_{p} dado, eleve r à potência \gamma-1 e divida T_{3} por esse fator.

Passo 3

Aplicando o método (a) com calor específico constante avaliado em 1000\\ \mathrm{K}.
Usando os valores:
c_{p} = 1{,}148\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad R = 0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Calcule c_{v} e \gamma:
c_{v} = c_{p} - R = 1{,}148 - 0{,}287 = 0{,}861\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
\gamma = \frac{c_{p}}{c_{v}} = \frac{1{,}148}{0{,}861} \approx 1{,}334.
Agora calcule o expoente \gamma-1 e a potência r^{\gamma-1}:
\gamma - 1 \approx 0{,}334,
r^{\gamma-1} = 8^{0{,}334} = \exp\big(0{,}334\ln 8\big).
Compute numericamente (mostrando passos de conta mental/prova):
\ln 8 \approx 2{,}07944,\qquad 0{,}334\cdot\ln 8 \approx 0{,}6939,
r^{\gamma-1} \approx e^{0{,}6939} \approx 2{,}0019.
Finalmente,
T_{4} = \frac{T_{3}}{r^{\gamma-1}} \approx \frac{1700}{2{,}0019} \approx 849{,}1\\ \mathrm{K}.
Resultado do item (a): \;T_{4}\approx 849\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Explicando a forma correta (mais geral) quando c_{p} varia com a temperatura.
Para um gás ideal com c_{p}(T) variável, a condição de processo adiabático e reversível é conservação da entropia, que se escreve
\int_{T_{3}}^{T_{4}} \frac{c_{p}(T)}{T}\,dT \;=\; R\ln\!\left(\frac{P_{4}}{P_{3}}\right).
Como P V = R T para gás ideal, e V_{4}/V_{3}=r, temos
\frac{P_{4}}{P_{3}} \;=\; \frac{T_{4}/V_{4}}{T_{3}/V_{3}} \;=\; \frac{T_{4}}{T_{3}}\cdot\frac{V_{3}}{V_{4}} \;=\; \frac{T_{4}}{T_{3}}\cdot\frac{1}{r}.
Substituindo isso na equação da entropia obtemos a equação que relaciona T_{4} e T_{3} com c_{p}(T):
\int_{T_{3}}^{T_{4}} \frac{c_{p}(T)}{T}\,dT \;=\; R\ln\!\left(\frac{T_{4}}{T_{3}}\cdot\frac{1}{r}\right).
Essa equação é implícita em T_{4} (aparece dentro da integral e no log) e geralmente exige solução numérica. Na prova, um procedimento prático é:
  • obter uma forma de c_{p}(T) (tabela ou polinômio tipo NASA);
  • resolver a equação numericamente (método iterativo ou calcular a integral numericamente para cada chute de T_{4}).
Vou mostrar uma forma prática e didática de resolver por iteração simples usando uma aproximação linear para c_{p}(T) entre T_{3} e T_{4}. Isso é razoável quando não temos na prova a tabela completa, e ilustra o método.

Passo 5

Implementando iteração prática (aproximação linear de c_{p}(T)):
  1. Escolha um chute inicial para T_{4}. Usamos o resultado do item (a) como chute: T_{4}^{(0)} = 849\\ \mathrm{K}.
  2. Aproximação linear para c_{p}(T) entre T_{4} e T_{3}: supondo valores típicos para ar,
c_{p}(1000\\ \mathrm{K}) = 1{,}148\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
e tomamos um valor representativo em 1700\\ \mathrm{K},
c_{p}(1700\\ \mathrm{K}) \approx 1{,}250\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Com isso, assumimos c_{p}(T) aproximadamente linear entre esses pontos; a razão (coeficiente angular) é
b \approx \frac{1{,}250-1{,}148}{1700-1000} = \frac{0{,}102}{700} \approx 0{,}0001457\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K^{2})}.
Então, estimamos c_{p} no extremo inferior T_{4}^{(0)}=849\\ \mathrm{K} por extrapolação a partir de 1000\\ \mathrm{K}:
c_{p}(849)\approx 1{,}148 - 0{,}0001457\cdot(1000-849) = 1{,}148 - 0{,}0001457\cdot151 \approx 1{,}126\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  1. Calcule o c_{p} médio entre T_{3} e T_{4}^{(0)} (aproximação da integral):
\bar{c}_{p} \approx \frac{c_{p}(1700)+c_{p}(849)}{2} \approx \frac{1{,}250 + 1{,}126}{2} = 1{,}188\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Com \bar{c}_{p} podemos aproximar
\int_{T_{3}}^{T_{4}} \frac{c_{p}(T)}{T}\,dT \approx \bar{c}_{p}\ln\!\left(\frac{T_{4}}{T_{3}}\right).
Substituindo na equação de entropia:
\bar{c}_{p}\ln\!\left(\frac{T_{4}}{T_{3}}\right) \approx R\ln\!\left(\frac{T_{4}}{T_{3}}\cdot\frac{1}{r}\right).
Isolando em termos de \ln(T_{4}/T_{3}):
\ln\!\left(\frac{T_{4}}{T_{3}}\right)\big(\bar{c}_{p}-R\big) \approx -R\ln r,
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\ln\!\left(\frac{T_{4}}{T_{3}}\right) \approx -\frac{R\ln r}{\bar{c}_{p}-R}.
Dessa forma obtemos um novo valor T_{4}^{(1)}:
\frac{T_{4}^{(1)}}{T_{3}} = \exp\!\left(-\frac{R\ln r}{\bar{c}_{p}-R}\right).
  1. Substituindo números:
\bar{c}_{p} = 1{,}188,\qquad R = 0{,}287,\qquad \ln r = \ln 8 \approx 2{,}07944.
\bar{c}_{p}-R = 1{,}188 - 0{,}287 = 0{,}901,
-\frac{R\ln r}{\bar{c}_{p}-R} = -\frac{0{,}287\times 2{,}07944}{0{,}901} \approx -0{,}6623.
\frac{T_{4}^{(1)}}{T_{3}} = e^{-0{,}6623} \approx 0{,}5155.
T_{4}^{(1)} \approx 0{,}5155\times 1700 \approx 876{,}4\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Iteração rápida para convergência (mostrando que o método estabiliza):
Use T_{4}^{(1)}\approx 876{,}4\\ \mathrm{K} e reavalie c_{p}(T) no ponto inferior:
c_{p}(876{,}4)\approx 1{,}148 - 0{,}0001457\cdot(1000-876{,}4)\approx 1{,}130.
Média entre 1{,}250 e 1{,}130 \bar{c}_{p}\approx 1{,}190. Repetindo o cálculo acima com \bar{c}_{p}=1{,}190 resulta em T_{4} muito próximo de 878\\ \mathrm{K}. Após mais uma iteração os valores praticamente não mudam (convergência rápida). Portanto, com c_{p}(T) variável (aproximação linear usada aqui), obtemos:
T_{4}\approx 878\\ \mathrm{K}.
Observação importante: este procedimento usa uma aproximação linear para c_{p}(T) e média para a integral; em uma solução mais precisa usaríamos tabelas ou polinômios (NASA/JANAF) para c_{p}(T) e integração numérica direta, o que daria um resultado muito próximo desse, talvez com pequena diferença. A ideia aqui é mostrar o método que você pode aplicar na prova se tiver uma tabela ou se for pedido método iterativo.

Passo 7

Comparação dos resultados e justificativa de precisão.
Resultado (a) com c_{p} constante em 1000\\ \mathrm{K}: T_{4}\approx 849\\ \mathrm{K}.
Resultado (b) com c_{p}(T) variável (aproximação iterativa): T_{4}\approx 878\\ \mathrm{K}.
Qual é mais preciso e por quê?
  • O resultado do item (b) é mais preciso porque na prática o calor específico do ar varia com a temperatura (aumenta à medida que a temperatura sobe). Como no processo nós variamos de 1700\\ \mathrm{K} até cerca de 800\!-\!900\\ \mathrm{K}, a dependência de c_{p} com T é significativa. Usar c_{p} constante avaliado a 1000\\ \mathrm{K} é uma aproximação; ela dá uma diferença de algumas dezenas de kelvins (neste caso cerca de 3\!-\!4\%) para T_{4}. Portanto, quando se busca precisão (e quando se tem tabelas/polínios para c_{p}(T)), deve-se usar a integral que leva em conta c_{p}(T).

Resposta

(a) T_{4}\approx 849\\ \mathrm{K}.\n(b) T_{4}\approx 878\\ \mathrm{K}.\n(c) O resultado do item (b) é mais preciso, porque considera a variação real de c_{p} com a temperatura; c_{p} aumenta com T e essa variação afeta a relação isentrópica, logo o cálculo com c_{p}(T) reduz o erro (a diferença aqui é da ordem de 3\!-\!4\%).

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