Um tubo de diâmetro externo de 4^{\prime \prime}, espessura 4 \mathrm{~mm}, 25 \mathrm{~m} de comprimento e k=38 \frac{k c a l}{h m^{\circ} \mathrm{C}}, transporta vapor a 175^{\circ} \mathrm{C} (temperatura da face interna) O tubo está isolado com um material A de 1^{\prime \prime} de espessura e k=0,08 \frac{k c a l}{h m^{\circ} \mathrm{C}}. A face externa do isolante está a 60^{\circ} \mathrm{C}.
Pede-se:
a) a taxa de transferência de calor pelo tubo nas condições atuais;
b) recobrindo-se o isolante com um material B, de 1 \frac{1}{2}^{\prime \prime} de espessura, de k=0,12 \frac{k c a l}{h m^{\circ} \mathrm{C}}, qual será a nova taxa de transferência de calor;
c) no caso do item (b) qual será a temperatura na interface dos isolantes;
d) havendo necessidade de aumentar para 5^{\prime \prime} o diâmetro de 10 m dessa tubulação, qual será a nova taxa de transferência de calor, considerando as mesmas espessuras e as mesmas temperaturas;
e) qual deveria ser a espessura do isolante B, nos 10 m de tubo de maior diâmetro, para que a taxa de transferência de calor volte a ser igual ao item (b).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todas as medidas do enunciado):
  • diâmetro externo do tubo: 4^{\prime\prime}=0,1016\\ \text{m};
  • espessura do tubo: 4\\ \text{mm}=0,004\\ \text{m};
  • comprimento para os itens (a)–(c): L=25\\ \text{m};
  • condutividade do tubo (material metálico): k_{\text{tubo}}=38\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}\,^\circ\text{C}};
  • temperatura da face interna (superfície interna do tubo): T_{\text{int}}=175^\circ\text{C} (dada diretamente);
  • isolante A: espessura 1^{\prime\prime}=0,0254\\ \text{m}, k_{A}=0,08\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}\,^\circ\text{C}};
  • a face externa do isolante A está a T_{\text{ext}}=60^\circ\text{C} (condição de contorno: temperatura externa conhecida);
  • isolante B (quando aplicado): espessura dada no item (b) 1{,}5^{\prime\prime}=0,0381\\ \text{m}, k_{B}=0,12\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}\,^\circ\text{C}}.
  • no item (d) o diâmetro do trecho alterado passa a 5^{\prime\prime}=0,127\\ \text{m} e o comprimento considerado é 10\\ \text{m} (mantêm-se as mesmas espessuras dos isolantes e as mesmas temperaturas).
O que o enunciado pede:
a) taxa de transferência de calor pelo tubo nas condições iniciais (só isolante A, L=25\\ \text{m});
b) taxa de transferência de calor quando se recobre A com B (ambos presentes), supondo que a face externa do conjunto permanece a 60^\circ\text{C} (novamente L=25\\ \text{m});
c) temperatura na interface entre A e B no caso do item (b);
d) se, para 10\\ \text{m} de tubo com diâmetro aumentado para 5^{\prime\prime}, mantendo as mesmas espessuras e temperaturas, qual a nova taxa de transferência de calor;
e) para esses 10\\ \text{m} de tubo maior, qual deveria ser a espessura do isolante B para que a taxa de calor total volte a ser igual à do item (b).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática!)
Quando o fluxo de calor é radial em um cilindro (por exemplo, do interior do tubo rumo ao exterior passando por camadas cilíndricas), a resistência térmica por condução da camada entre raios r_1 e r_2 (comprimento L, condutividade k) é:
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)}{2\pi L k}.
  • Aqui R_{\text{cond}} tem unidade \dfrac{\text{h}\,^\circ\text{C}}{\text{kcal}} porque usamos k em \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}\,^\circ\text{C}}.
  • A taxa de calor (potência térmica) em regime permanente entre duas superfícies de temperatura T_1 (interna) e T_2 (externa) é, por analogia ôhmica:
\dot{Q}=\dfrac{T_1-T_2}{\sum R},
onde \sum R é a soma das resistências em série (tubo, isolante A, isolante B quando existir). Essa é a equação que vamos aplicar repetidas vezes.
Observação didática: cada camada cilíndrica contribui com uma resistência proporcional ao logaritmo da razão de raios; parede metálica fina costuma ter resistência muito pequena se k for grande, e o isolante, com k pequeno, dá a maior resistência.

Passo 3

Cálculo das geometrias (conversões e raios). Vou determinar os raios que aparecem nas fórmulas.
Para o caso inicial (tubo com diâmetro externo 4^{\prime\prime}):
  • diâmetro externo do tubo D_{\text{ext,tubo}}=4^{\prime\prime}=0,1016\\ \text{m}.
  • espessura do tubo t_{\text{tubo}}=0,004\\ \text{m}.
  • raio interno do fluxo (superfície interna do tubo): primeiro determinamos o diâmetro interno D_{\text{int}}=D_{\text{ext,tubo}}-2t_{\text{tubo}}=0{,}1016-2(0{,}004)=0{,}0936\\ \text{m}. Logo
    \displaystyle r_1=\frac{D_{\text{int}}}{2}=0{,}0468\\ \text{m}.
  • raio externo do tubo (raio da face que toca o isolante A):
    \displaystyle r_2=r_1+t_{\text{tubo}}=0{,}0468+0{,}004=0{,}0508\\ \text{m}.
  • isolante A tem espessura t_A=0{,}0254\\ \text{m}. Então a sua face externa fica em
    \displaystyle r_3=r_2+t_A=0{,}0508+0{,}0254=0{,}0762\\ \text{m}.
Quando adicionarmos o isolante B com espessura t_B=0{,}0381\\ \text{m} (item b), a sua face externa ficará em
\displaystyle r_4=r_3+t_B=0{,}0762+0{,}0381=0{,}1143\\ \text{m}.
Para o tubo maior ( 5^{\prime\prime}, item d), recalculemos os raios (usados nos itens d e e):
  • D_{\text{ext,tubo,novo}}=5^{\prime\prime}=0{,}127\\ \text{m}.
  • diâmetro interno novo D_{\text{int,new}}=0{,}127-2(0{,}004)=0{,}119\\ \text{m}, então
    \displaystyle r_1'=0{,}0595\\ \text{m}.
  • raio externo do tubo novo \displaystyle r_2'=r_1'+0{,}004=0{,}0635\\ \text{m}.
  • com A (mesma espessura) \displaystyle r_3'=r_2'+0{,}0254=0{,}0889\\ \text{m}.
  • com B (mesma espessura dada no item b) \displaystyle r_4'=r_3'+0{,}0381=0{,}1270\\ \text{m}.
Resumo de raios usados:
  • caso inicial: r_1=0{,}0468\\ \text{m},\\ r_2=0{,}0508\\ \text{m},\\ r_3=0{,}0762\\ \text{m}.
  • com B (25 m): r_4=0{,}1143\\ \text{m}.
  • tubo maior (10 m): r_1'=0{,}0595\\ \text{m},\\ r_2'=0{,}0635\\ \text{m},\\ r_3'=0{,}0889\\ \text{m},\\ r_4'=0{,}1270\\ \text{m}.

Passo 4

Item (a) — cálculo detalhado da taxa de calor com apenas isolante A e L=25\\ \text{m}.
Calcule resistência do tubo (camada entre r_1 e r_2):
R_{\text{tubo}}=\frac{\ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)}{2\pi L k_{\text{tubo}}} =\frac{\ln\!\big(\dfrac{0{,}0508}{0{,}0468}\big)}{2\pi(25)(38)}.
Calculando os valores (passo a passo): \dfrac{r_2}{r_1}=1{,}08547, \ln(1{,}08547)=0{,}0820. O denominador é 2\pi\cdot25\cdot38\approx5969{,}0. Logo
R_{\text{tubo}}\approx\frac{0{,}0820}{5969{,}0}\approx0{,}0000137\\ \frac{\text{h}\,^\circ\text{C}}{\text{kcal}}.
(Sim, muito pequeno — o metal conduz bem.)
Resistência do isolante A (entre r_2 e r_3):
R_{A}=\frac{\ln\!\big(\dfrac{r_3}{r_2}\big)}{2\pi L k_{A}} =\frac{\ln\!\big(\dfrac{0{,}0762}{0{,}0508}\big)}{2\pi(25)(0{,}08)}.
Aqui \dfrac{r_3}{r_2}=1{,}5, \ln(1{,}5)=0{,}405465. Denominador 2\pi\cdot25\cdot0{,}08=12{,}56637. Assim
R_{A}\approx\frac{0{,}405465}{12{,}56637}\approx0{,}03227\\ \frac{\text{h}\,^\circ\text{C}}{\text{kcal}}.
Resistência total:
R_{\text{tot}}=R_{\text{tubo}}+R_{A}\approx0{,}0000137+0{,}03227\approx0{,}03228\\ \frac{\text{h}\,^\circ\text{C}}{\text{kcal}}.
Diferença de temperatura: \Delta T=175-60=115^\circ\text{C}.
Taxa de calor:
\dot{Q}=\dfrac{115}{0{,}03228}\approx3\,563\\ \text{kcal/h}.
Comentário amigo: o tubo metálico praticamente não contribui para a resistência; o controlante aqui é o isolante A.

Passo 5

Item (b) — agora temos camadas em série: tubo, A, B, com o mesmo comprimento L=25\\ \text{m}. Mantemos T_{\text{ext}}=60^\circ\text{C} como condição de contorno externa.
Resistência do isolante B (entre r_3 e r_4):
R_{B}=\frac{\ln\!\big(\dfrac{r_4}{r_3}\big)}{2\pi L k_{B}} =\frac{\ln\!\big(\dfrac{0{,}1143}{0{,}0762}\big)}{2\pi(25)(0{,}12)}.
Aqui \dfrac{r_4}{r_3}=1{,}5 novamente, então \ln(1{,}5)=0{,}405465. Denominador agora 2\pi\cdot25\cdot0{,}12=18{,}84956. Assim
R_{B}\approx\frac{0{,}405465}{18{,}84956}\approx0{,}02152\\ \frac{\text{h}\,^\circ\text{C}}{\text{kcal}}.
Somando resistências:
R_{\text{tot,comB}}=R_{\text{tubo}}+R_{A}+R_{B}\approx0{,}0000137+0{,}03227+0{,}02152\approx0{,}05380.
Taxa de calor com A+B:
\dot{Q}_{\text{comB}}=\dfrac{115}{0{,}05380}\approx2\,138\\ \text{kcal/h}.
Interpretando: adicionando B reduz o fluxo de 3\,563 para cerca de 2\,138\\ \text{kcal/h}, porque aumentou a resistência térmica total.

Passo 6

Item (c) — temperatura na interface A–B (na radius r_3) para o caso (b).
Método: conhecendo \dot{Q}_{\text{comB}} e a resistência parcial entre r_1 e r_3 (isto é, R_{\text{tubo}}+R_A), a queda de temperatura até a interface é \Delta T_{1\to 3}=\dot{Q}(R_{\text{tubo}}+R_A). Portanto:
T_{\text{interface}}=T_{\text{int}}-\dot{Q}_{\text{comB}}\,(R_{\text{tubo}}+R_A).
Valores numéricos:
\;R_{\text{tubo}}+R_A\approx0{,}03228, \dot{Q}_{\text{comB}}\approx2\,138.
\Delta T_{1\to 3}\approx2\,138\times0{,}03228\approx69{,}06^\circ\text{C},
logo
T_{\text{interface}}\approx175-69{,}06\approx105{,}94^\circ\text{C}\\ (\text{aprox. }106^\circ\text{C}).
Checando pela outra via (a partir da face externa): T_{\text{interface}}=T_{\text{ext}}+\dot{Q}R_{B}=60+2\,138\times0{,}02152\approx106{,}0^\circ\text{C}. Mesma resposta — bom sinal!

Passo 7

Item (d) — novo trecho de 10\\ \text{m}, diâmetro externo 5^{\prime\prime} (raízes r_1',r_2',r_3',r_4' já calculadas), mesmas espessuras e mesmas temperaturas. Calculemos \dot{Q} para esse trecho de 10\\ \text{m}.
Primeiro as resistências (usando os raios primados e L=10\\ \text{m}):
tubo:
R_{\text{tubo}}'=\frac{\ln\!\big(\dfrac{r_2'}{r_1'}\big)}{2\pi(10)k_{\text{tubo}}} =\frac{\ln\!\big(\dfrac{0{,}0635}{0{,}0595}\big)}{2\pi(10)(38)} \approx0{,}0000272.
isolante A (10 m):
R_{A}'=\frac{\ln\!\big(\dfrac{r_3'}{r_2'}\big)}{2\pi(10)k_{A}} =\frac{\ln\!\big(\dfrac{0{,}0889}{0{,}0635}\big)}{2\pi(10)(0{,}08)}.
Aqui \dfrac{r_3'}{r_2'}=1{,}4, \ln(1{,}4)=0{,}336472. Denominador 2\pi\cdot10\cdot0{,}08=5{,}026548. Logo
R_{A}'\approx\frac{0{,}336472}{5{,}026548}\approx0{,}06693.
isolante B (10 m, mesma espessura 0{,}0381\\ \text{m}):
R_{B}'=\frac{\ln\!\big(\dfrac{r_4'}{r_3'}\big)}{2\pi(10)k_{B}} =\frac{\ln\!\big(\dfrac{0{,}1270}{0{,}0889}\big)}{2\pi(10)(0{,}12)}.
\dfrac{r_4'}{r_3'}\approx1{,}42857, \ln(\cdot)\approx0{,}356675. Denominador 2\pi\cdot10\cdot0{,}12=7{,}539822. Assim
R_{B}'\approx\frac{0{,}356675}{7{,}539822}\approx0{,}0473.
Resistência total para o trecho de 10\\ \text{m}:
R_{\text{tot}}' = R_{\text{tubo}}' + R_{A}' + R_{B}' \approx0{,}0000272+0{,}06693+0{,}0473\approx0{,}11426.
Taxa de calor para L=10\\ \text{m}:
\dot{Q}'=\dfrac{115}{0{,}11426}\approx1\,007\\ \text{kcal/h}.
Observação: a redução considerável da taxa em relação ao item (b) (onde havia 2\,138\\ \text{kcal/h}) deve-se a dois fatores: comprimento menor (a resistência é inversamente proporcional a L, portanto o comportamento muda) e ao aumento do raio (isolantes mais espessos em termos relativos) — a combinação deu redução.

Passo 8

Item (e) — qual a espessura de B (nos 10\\ \text{m} do tubo maior) para que a taxa de calor volte a ser igual à do item (b), ou seja \dot{Q}_{\text{desejada}}=\dot{Q}_{\text{comB (25 m)}}\approx2\,138\\ \text{kcal/h}?
Procedimento: para L=10\\ \text{m} queremos
\dot{Q}_{\text{desejada}}=\frac{115}{R_{\text{tubo}}'+R_{A}'+R_{B,\text{novo}}}.
Isolamos R_{B,\text{novo}}=\dfrac{115}{\dot{Q}_{\text{desejada}}}-R_{\text{tubo}}'-R_{A}'. Em seguida obtemos a espessura t_{B,\text{novo}} pela relação
R_{B,\text{novo}}=\frac{\ln\!\big(\dfrac{r_3'+t_{B,\text{novo}}}{r_3'}\big)}{2\pi L k_{B}} \quad\Rightarrow\quad \frac{r_3'+t_{B,\text{novo}}}{r_3'}=\exp\!\big(2\pi L k_{B} R_{B,\text{novo}}\big).
Agora os números. Já temos R_{\text{tubo}}'\approx0{,}0000272 e R_{A}'\approx0{,}06693. A resistência total necessária para obter \dot{Q}_{\text{desejada}}=2\,138 é
R_{\text{tot,necessária}}=\frac{115}{2\,138}\approx0{,}05380.á
Logo
R_{B,\text{novo}}=0{,}05380 - 0{,}0000272 - 0{,}06693\approx -0{,}01316\\ \frac{\text{h}\,^\circ\text{C}}{\text{kcal}}.
Interpretação física imediata e conclusão: o valor obtido para R_{B,\text{novo}} é negativo. Isso é fisicamente impossível porque significa uma resistência térmica “negativa” (o que equivaleria a um condutor que reduz a temperatura ao invés de resistir). Em termos práticos, mesmo removendo totalmente o isolante B ( t_B=0) a resistência mínima possível do trecho de 10\\ \text{m} com a espessura de A dada é
R_{\text{min}}=R_{\text{tubo}}'+R_{A}'\approx0{,}0000272+0{,}06693\approx0{,}06696,
e a máxima taxa de calor possível nesse caso (com t_B=0) seria
\dot{Q}_{\max}=\frac{115}{R_{\text{min}}}\approx\frac{115}{0{,}06696}\approx1\,718\\ \text{kcal/h},
que é menor do que \dot{Q}_{\text{desejada}}=2\,138\\ \text{kcal/h}. Portanto não há espessura positiva de B que permita alcançar a taxa do item (b) para o trecho de 10\\ \text{m} do tubo maior, mantendo as espessuras de A e a geometria do tubo como dadas.
(Apenas para mostrar o absurdo numérico: se tentássemos aplicar a fórmula apesar de R_{B,\text{novo}}<0, obteríamos t_{B,\text{novo}}<0 — isto é, seria necessário retirar material até além da superfície r_3', o que não é possível. Numericamente daria t_{B,\text{novo}}\approx-0{,}0084\\ \text{m} — isto é, remover cerca de 8{,}4\\ \text{mm} — mas isso é uma indicação de impossibilidade física dentro das hipóteses do problema.)

Resposta

(a) \dot{Q}\approx3\,563\\ \text{kcal/h}
(b) \dot{Q}_{\text{com B}}\approx2\,138\\ \text{kcal/h}
(c) T_{\text{interface A--B}}\approx105{,}94^\circ\text{C} (aprox. 106^\circ\text{C})
(d) Para o trecho de 10\\ \text{m} com diâmetro 5^{\prime\prime}: \dot{Q}'\approx1\,007\\ \text{kcal/h}
(e) Não existe espessura positiva de B que atinja \dot{Q}=2\,138\\ \text{kcal/h} nos 10\\ \text{m} do tubo maior, mantendo as demais espessuras e temperaturas. Mesmo com t_B=0 (removendo B) a máxima taxa possível é \dot{Q}_{\max}\approx1\,718\\ \text{kcal/h}, portanto \dot{Q}_{\text{desejada}} não pode ser alcançada nas condições dadas.

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