Um tubo de diâmetro externo de
, espessura
de comprimento e
, transporta vapor a
(temperatura da face interna) O tubo está isolado com um material A de
de espessura e
. A face externa do isolante está a
.
Pede-se:
a) a taxa de transferência de calor pelo tubo nas condições atuais;
b) recobrindo-se o isolante com um material B, de
de espessura, de
, qual será a nova taxa de transferência de calor;
c) no caso do item (b) qual será a temperatura na interface dos isolantes;
d) havendo necessidade de aumentar para
o diâmetro de 10 m dessa tubulação, qual será a nova taxa de transferência de calor, considerando as mesmas espessuras e as mesmas temperaturas;
e) qual deveria ser a espessura do isolante B, nos 10 m de tubo de maior diâmetro, para que a taxa de transferência de calor volte a ser igual ao item (b).
a) a taxa de transferência de calor pelo tubo nas condições atuais;
b) recobrindo-se o isolante com um material B, de
c) no caso do item (b) qual será a temperatura na interface dos isolantes;
d) havendo necessidade de aumentar para
e) qual deveria ser a espessura do isolante B, nos 10 m de tubo de maior diâmetro, para que a taxa de transferência de calor volte a ser igual ao item (b).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todas as medidas do enunciado):
- diâmetro externo do tubo:
; - espessura do tubo:
; - comprimento para os itens (a)–(c):
; - condutividade do tubo (material metálico):
; - temperatura da face interna (superfície interna do tubo):
(dada diretamente); - isolante A: espessura
, ; - a face externa do isolante A está a
(condição de contorno: temperatura externa conhecida); - isolante B (quando aplicado): espessura dada no item (b)
, . - no item (d) o diâmetro do trecho alterado passa a
e o comprimento considerado é (mantêm-se as mesmas espessuras dos isolantes e as mesmas temperaturas).
O que o enunciado pede:
a) taxa de transferência de calor pelo tubo nas condições iniciais (só isolante A, );
b) taxa de transferência de calor quando se recobre A com B (ambos presentes), supondo que a face externa do conjunto permanece a (novamente
);
c) temperatura na interface entre A e B no caso do item (b);
d) se, para de tubo com diâmetro aumentado para
, mantendo as mesmas espessuras e temperaturas, qual a nova taxa de transferência de calor;
e) para esses de tubo maior, qual deveria ser a espessura do isolante B para que a taxa de calor total volte a ser igual à do item (b).
a) taxa de transferência de calor pelo tubo nas condições iniciais (só isolante A,
b) taxa de transferência de calor quando se recobre A com B (ambos presentes), supondo que a face externa do conjunto permanece a
c) temperatura na interface entre A e B no caso do item (b);
d) se, para
e) para esses
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática!)
Quando o fluxo de calor é radial em um cilindro (por exemplo, do interior do tubo rumo ao exterior passando por camadas cilíndricas), a resistência térmica por condução da camada entre raios
e
(comprimento
, condutividade
) é:
- Aqui
tem unidade porque usamos em . - A taxa de calor (potência térmica) em regime permanente entre duas superfícies de temperatura
(interna) e (externa) é, por analogia ôhmica:
onde
é a soma das resistências em série (tubo, isolante A, isolante B quando existir). Essa é a equação que vamos aplicar repetidas vezes.
Observação didática: cada camada cilíndrica contribui com uma resistência proporcional ao logaritmo da razão de raios; parede metálica fina costuma ter resistência muito pequena se
for grande, e o isolante, com
pequeno, dá a maior resistência.
Passo 3
Cálculo das geometrias (conversões e raios). Vou determinar os raios que aparecem nas fórmulas.
Para o caso inicial (tubo com diâmetro externo
):
- diâmetro externo do tubo
. - espessura do tubo
. - raio interno do fluxo (superfície interna do tubo): primeiro determinamos o diâmetro interno
. Logo
. - raio externo do tubo (raio da face que toca o isolante A):
- isolante A tem espessura
. Então a sua face externa fica em
Quando adicionarmos o isolante B com espessura
(item b), a sua face externa ficará em
Para o tubo maior (
, item d), recalculemos os raios (usados nos itens d e e):
-
- diâmetro interno novo
, então
- raio externo do tubo novo
- com A (mesma espessura)
- com B (mesma espessura dada no item b)
Resumo de raios usados:
- caso inicial:
- com B (25 m):
- tubo maior (10 m):
Passo 4
Item (a) — cálculo detalhado da taxa de calor com apenas isolante A e
.
Calcule resistência do tubo (camada entre
e
):
Calculando os valores (passo a passo):
,
. O denominador é
. Logo
(Sim, muito pequeno — o metal conduz bem.)
Resistência do isolante A (entre
e
):
Aqui
,
. Denominador
. Assim
Resistência total:
Diferença de temperatura:
.
Taxa de calor:
Comentário amigo: o tubo metálico praticamente não contribui para a resistência; o controlante aqui é o isolante A.
Passo 5
Item (b) — agora temos camadas em série: tubo, A, B, com o mesmo comprimento
. Mantemos
como condição de contorno externa.
Resistência do isolante B (entre
e
):
Aqui
novamente, então
. Denominador agora
. Assim
Somando resistências:
Taxa de calor com A+B:
Interpretando: adicionando B reduz o fluxo de
para cerca de
, porque aumentou a resistência térmica total.
Passo 6
Item (c) — temperatura na interface A–B (na radius
) para o caso (b).
Método: conhecendo
e a resistência parcial entre
e
(isto é,
), a queda de temperatura até a interface é
. Portanto:
Valores numéricos:
,
.
logo
Checando pela outra via (a partir da face externa):
. Mesma resposta — bom sinal!
Passo 7
Item (d) — novo trecho de
, diâmetro externo
(raízes
já calculadas), mesmas espessuras e mesmas temperaturas. Calculemos
para esse trecho de
.
Primeiro as resistências (usando os raios primados e
):
tubo:
isolante A (10 m):
Aqui
,
. Denominador
. Logo
isolante B (10 m, mesma espessura
):
Resistência total para o trecho de
:
Taxa de calor para
:
Observação: a redução considerável da taxa em relação ao item (b) (onde havia
) deve-se a dois fatores: comprimento menor (a resistência é inversamente proporcional a
, portanto o comportamento muda) e ao aumento do raio (isolantes mais espessos em termos relativos) — a combinação deu redução.
Passo 8
Item (e) — qual a espessura de B (nos
do tubo maior) para que a taxa de calor volte a ser igual à do item (b), ou seja
?
Procedimento: para
queremos
Isolamos
. Em seguida obtemos a espessura
pela relação
Agora os números. Já temos
e
. A resistência total necessária para obter
é
Logo
Interpretação física imediata e conclusão: o valor obtido para
é negativo. Isso é fisicamente impossível porque significa uma resistência térmica “negativa” (o que equivaleria a um condutor que reduz a temperatura ao invés de resistir). Em termos práticos, mesmo removendo totalmente o isolante B (
) a resistência mínima possível do trecho de
com a espessura de A dada é
e a máxima taxa de calor possível nesse caso (com
) seria
que é menor do que
. Portanto não há espessura positiva de B que permita alcançar a taxa do item (b) para o trecho de
do tubo maior, mantendo as espessuras de A e a geometria do tubo como dadas.
(Apenas para mostrar o absurdo numérico: se tentássemos aplicar a fórmula apesar de
, obteríamos
— isto é, seria necessário retirar material até além da superfície
, o que não é possível. Numericamente daria
— isto é, remover cerca de
— mas isso é uma indicação de impossibilidade física dentro das hipóteses do problema.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(aprox.
)
(d) Para o trecho de
com diâmetro
:
(e) Não existe espessura positiva de
que atinja
nos
do tubo maior, mantendo as demais espessuras e temperaturas. Mesmo com
(removendo
) a máxima taxa possível é
, portanto
não pode ser alcançada nas condições dadas.