1^{9} ) Um forno inicialmente a 500{ }^{\circ} \mathrm{C} esta sendo resfriado a uma taxa de -40{ }^{\circ} \mathrm{C} /minuto e um termômetro de bulbo, instrumento de primeira ordem, com uma constante de tempo \tau=2 \mathrm{~min}, é utilizado para monitorar a temperatura do forno. Pede-se:
a.) Equacione a variação da T de resfriamento do forno (entrada do instrumento) e plot o gráfico da entrada pelo do tempo. ( 0.25 )
b.) Qual seria a verdadeira temperatura do forno quando o termômetro esta marcando 0^{\circ} \mathrm{C}, ? (1,5)
c.) Assumindo que o erro máximo no monitoramento da temperatura de resfriamento do forno não exceder 5{ }^{\circ} \mathrm{C}, qual deveria ser a cte de tempo do termômetro para atender tal condição? (1.5)

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo isso vem do enunciado, sem suposições extras):
  • Temperatura inicial do forno: \,500^\circ\mathrm{C}\, em t=0.
  • O forno está sendo resfriado com taxa constante de -40^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}.
  • O termômetro é um instrumento de primeira ordem com constante de tempo \tau=2\\ \mathrm{min}.
    As perguntas são:
    a) Escrever a equação da variação da temperatura do forno (a entrada para o instrumento) e esboçar/indicar o gráfico dessa entrada em função do tempo.
    b) Quando o termômetro marcar 0^\circ\mathrm{C}, qual é a verdadeira temperatura do forno?
    c) Se o erro máximo permitido entre leitura e verdadeira temperatura for 5^\circ\mathrm{C}, qual deveria ser a constante de tempo \tau do termômetro para garantir isso?

Passo 2

(a) Equação da variação da temperatura do forno (a entrada).
  • Como a taxa de resfriamento é constante e igual a -40^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}, a temperatura real do forno é uma função linear do tempo com declive -40. Com condição inicial \,T(0)=500^\circ\mathrm{C}\,, a equação é
T_{\text{forno}}(t)=500-40\,t,
onde t está em minutos e T em {}^\circ\mathrm{C}.
  • Pontos importantes para esboçar o gráfico: em t=0 tem T=500^\circ\mathrm{C}; quando T=0^\circ\mathrm{C} resolve-se 500-40t=0\Rightarrow t=12{,}5\\ \mathrm{min}. Então é uma reta que passa por (0,500) e (12{,}5,0) com inclinação -40.

Passo 3

Modelagem do termômetro de primeira ordem (introdução didática).
  • Um instrumento de primeira ordem (modelo de atraso simples) tem equação diferencial que relaciona a saída y(t) (leitura do termômetro) com a entrada u(t) (a temperatura real do forno). A forma canônica é:
\tau\frac{dy}{dt}+y=u(t),
onde \tau é a constante de tempo do instrumento (medida em minutos). Interpretação física: \tau é o tempo que o instrumento leva para reagir — após uma mudança súbita na entrada, a saída atinge aproximadamente 63{,}2\% da mudança após um tempo \tau.
  • No nosso caso a entrada é u(t)=T_{\text{forno}}(t)=500-40t. Vamos usar essa equação para achar y(t).

Passo 4

Resolver a equação diferencial do termômetro passo a passo.
  • Escrevemos a equação com a entrada linear:
\tau\frac{dy}{dt}+y=500-40t.
  • Colocando na forma padrão:
\frac{dy}{dt}+\frac{1}{\tau}y=\frac{1}{\tau}(500-40t).
  • Método do fator integrante. O fator integrante é \mu(t)=e^{t/\tau}. Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t/\tau}y\bigr)=\frac{1}{\tau}e^{t/\tau}(500-40t).
  • Integrando de 0 a t:
e^{t/\tau}y(t)-y(0)=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{t}e^{s/\tau}(500-40s)\,ds.
  • Calcula-se a integral. Primeiro note as primitivas:
\int e^{s/\tau}ds=\tau e^{s/\tau},
\int s e^{s/\tau}ds=\tau s e^{s/\tau}-\tau^{2}e^{s/\tau}.
Assim
\int e^{s/\tau}(500-40s)ds = e^{s/\tau}\bigl(500\tau-40\tau s+40\tau^{2}\bigr)+C.
Avaliando de 0 a t e multiplicando por 1/\tau resulta
\frac{1}{\tau}\int_{0}^{t}e^{s/\tau}(500-40s)\,ds =e^{t/\tau}\bigl(500-40t+40\tau\bigr)-(500+40\tau).
  • Usando isso em e^{t/\tau}y(t)=y(0)+ essa expressão e isolando y(t), obtemos a solução geral:
y(t)=500-40t+40\tau+e^{-t/\tau}\bigl(y(0)-(500+40\tau)\bigr).
  • Fazemos a hipótese natural (e usual) de que no instante t=0 o termômetro estava em equilíbrio com o forno, ou seja y(0)=500. Substituindo:
y(t)=500-40t+40\tau-40\tau e^{-t/\tau}.
  • Observação (intuição): isso pode ser escrito como
y(t)=T_{\text{forno}}(t)+40\tau\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr),
ou seja, a leitura é sempre maior que a verdadeira durante o resfriamento (lag), com erro positivo que começa em 0 e tende para 40\tau quando t\to\infty.

Passo 5

(b) Determinar a verdadeira temperatura quando o termômetro marca 0^\circ\mathrm{C}.
  • Com \tau=2\\ \mathrm{min} usamos a expressão para y(t):
y(t)=500-40t+40\cdot 2\bigl(1-e^{-t/2}\bigr)=500-40t+80\bigl(1-e^{-t/2}\bigr).
  • Procuramos t tal que y(t)=0. Isso dá a equação transcendental
500-40t+80\bigl(1-e^{-t/2}\bigr)=0.
  • Simplificando:
580-40t-80e^{-t/2}=0.
Dividindo por 40:
14{,}5 - t - 2 e^{-t/2}=0\quad\text{ou}\quad t=14{,}5-2e^{-t/2}.
  • Esta equação resolve-se numericamente (fix-point iterativo ou método de Newton). Como e^{-t/2} é muito pequeno para t nesta faixa, convergindo rapidamente, uma iteração dá
t\approx 14{,}4986\\ \mathrm{min}.
  • Agora a verdadeira temperatura do forno nesse instante é
T_{\text{forno}}(t)=500-40t\approx 500-40\cdot 14{,}4986\approx -79{,}94^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação curta: quando o termômetro chega a 0^\circ\mathrm{C} ele está bem atrasado; o forno já está em torno de -80^\circ\mathrm{C} (isso mostra o efeito do lag para uma rampa rápida).

Passo 6

(c) Determinar \tau para que o erro máximo não exceda 5^\circ\mathrm{C}.
  • Do passo anterior, o erro em qualquer instante é
e(t)=y(t)-T_{\text{forno}}(t)=40\tau\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).
  • Essa função é crescente com t (pois 1-e^{-t/\tau} cresce de 0 até 1). Portanto o erro máximo ao longo do processo (para tempos longos) é o limite quando t\to\infty:
e_{\max}=40\tau.
  • Exigindo e_{\max}\le 5^\circ\mathrm{C} implica
40\tau\le 5 \quad\Rightarrow\quad \tau\le \frac{5}{40}=0{,}125\\ \mathrm{min}.
  • Convertendo para segundos: 0{,}125\\ \mathrm{min}=7{,}5\\ \mathrm{s}.
  • Conclusão: para garantir erro máximo de no máximo 5^\circ\mathrm{C} (considerando resfriamento contínuo indefinido), a constante de tempo do termômetro deve ser no máximo 0{,}125\\ \mathrm{min} (ou 7{,}5\\ \mathrm{s}).

Resposta

(a) T_{\text{forno}}(t)=500-40t. Gráfico: reta com inclinação -40 passando por (0,500) e (12{,}5,0).
(b) T_{\text{forno}}\approx -79{,}94^\circ\mathrm{C}.
(c) \tau\le 0{,}125\\ \mathrm{min} (ou \tau\le 7{,}5\\ \mathrm{s}).

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