) Um forno inicialmente a
esta sendo resfriado a uma taxa de
/minuto e um termômetro de bulbo, instrumento de primeira ordem, com uma constante de tempo
, é utilizado para monitorar a temperatura do forno. Pede-se:
a.) Equacione a variação da T de resfriamento do forno (entrada do instrumento) e plot o gráfico da entrada pelo do tempo. ( 0.25 )
b.) Qual seria a verdadeira temperatura do forno quando o termômetro esta marcando
, ?
c.) Assumindo que o erro máximo no monitoramento da temperatura de resfriamento do forno não exceder
, qual deveria ser a cte de tempo do termômetro para atender tal condição? (1.5)
a.) Equacione a variação da T de resfriamento do forno (entrada do instrumento) e plot o gráfico da entrada pelo do tempo. ( 0.25 )
b.) Qual seria a verdadeira temperatura do forno quando o termômetro esta marcando
c.) Assumindo que o erro máximo no monitoramento da temperatura de resfriamento do forno não exceder
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo isso vem do enunciado, sem suposições extras):
- Temperatura inicial do forno:
em . - O forno está sendo resfriado com taxa constante de
. - O termômetro é um instrumento de primeira ordem com constante de tempo
.
As perguntas são:
a) Escrever a equação da variação da temperatura do forno (a entrada para o instrumento) e esboçar/indicar o gráfico dessa entrada em função do tempo.
b) Quando o termômetro marcar, qual é a verdadeira temperatura do forno?
c) Se o erro máximo permitido entre leitura e verdadeira temperatura for, qual deveria ser a constante de tempo do termômetro para garantir isso?
Passo 2
(a) Equação da variação da temperatura do forno (a entrada).
- Como a taxa de resfriamento é constante e igual a
, a temperatura real do forno é uma função linear do tempo com declive . Com condição inicial , a equação é
onde
está em minutos e
em
.
- Pontos importantes para esboçar o gráfico: em
tem ; quando resolve-se . Então é uma reta que passa por e com inclinação .
Passo 3
Modelagem do termômetro de primeira ordem (introdução didática).
- Um instrumento de primeira ordem (modelo de atraso simples) tem equação diferencial que relaciona a saída
(leitura do termômetro) com a entrada (a temperatura real do forno). A forma canônica é:
onde
é a constante de tempo do instrumento (medida em minutos). Interpretação física:
é o tempo que o instrumento leva para reagir — após uma mudança súbita na entrada, a saída atinge aproximadamente
da mudança após um tempo
.
- No nosso caso a entrada é
. Vamos usar essa equação para achar .
Passo 4
Resolver a equação diferencial do termômetro passo a passo.
- Escrevemos a equação com a entrada linear:
- Colocando na forma padrão:
- Método do fator integrante. O fator integrante é
. Multiplicando a equação por obtemos
- Integrando de
a :
- Calcula-se a integral. Primeiro note as primitivas:
Assim
Avaliando de
a
e multiplicando por
resulta
- Usando isso em
essa expressão e isolando , obtemos a solução geral:
- Fazemos a hipótese natural (e usual) de que no instante
o termômetro estava em equilíbrio com o forno, ou seja . Substituindo:
- Observação (intuição): isso pode ser escrito como
ou seja, a leitura é sempre maior que a verdadeira durante o resfriamento (lag), com erro positivo que começa em
e tende para
quando
.
Passo 5
(b) Determinar a verdadeira temperatura quando o termômetro marca
.
- Com
usamos a expressão para :
- Procuramos
tal que . Isso dá a equação transcendental
- Simplificando:
Dividindo por
:
- Esta equação resolve-se numericamente (fix-point iterativo ou método de Newton). Como
é muito pequeno para nesta faixa, convergindo rapidamente, uma iteração dá
- Agora a verdadeira temperatura do forno nesse instante é
- Interpretação curta: quando o termômetro chega a
ele está bem atrasado; o forno já está em torno de (isso mostra o efeito do lag para uma rampa rápida).
Passo 6
(c) Determinar
para que o erro máximo não exceda
.
- Do passo anterior, o erro em qualquer instante é
- Essa função é crescente com
(pois cresce de até ). Portanto o erro máximo ao longo do processo (para tempos longos) é o limite quando :
- Exigindo
implica
- Convertendo para segundos:
. - Conclusão: para garantir erro máximo de no máximo
(considerando resfriamento contínuo indefinido), a constante de tempo do termômetro deve ser no máximo (ou ).
Resposta
(a)
. Gráfico: reta com inclinação
passando por
e
.
(b)
(c) (ou
).
(b)
(c)