From the following data, derive the absolute entropy of crystalline glycine at
.
You can perform the integration numerically using either a spreadsheet program or a curve-fitting routine and a graphing calculator (see Example Problem 5.9).
10.
0.30
20.
2.4
30.
7.0
40.
13.0
60.
25.1
80.
35.2
100.
43.2
120.
50.0
140.
56.0
160.
61.6
180.
67.0
200.
72.2
220.
77.4
240.
82.8
260.
88.4
280.
94.0
300.
99.7
You can perform the integration numerically using either a spreadsheet program or a curve-fitting routine and a graphing calculator (see Example Problem 5.9).
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| 10. | 0.30 |
| 20. | 2.4 |
| 30. | 7.0 |
| 40. | 13.0 |
| 60. | 25.1 |
| 80. | 35.2 |
| 100. | 43.2 |
| 120. | 50.0 |
| 140. | 56.0 |
| 160. | 61.6 |
| 180. | 67.0 |
| 200. | 72.2 |
| 220. | 77.4 |
| 240. | 82.8 |
| 260. | 88.4 |
| 280. | 94.0 |
| 300. | 99.7 |
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos.
- Pedido: determinar a entropia absoluta do glicina cristalina à temperatura
, isto é calcular . - Dados fornecidos: uma tabela de pontos
para variando de a . (Os valores da tabela são os que vieram no enunciado.) - Observação importante (princípio físico usado): pela terceira lei da termodinâmica a entropia absoluta do sólido puro perfeito tende a zero quando
. Assim podemos tomar e calcular
Passo 2
Explicando a fórmula e o procedimento numérico (didaticamente).
- Por que
?
Porque a definição diferencial ée, para um aquecimento reversível à pressão constante, . Integrando de a obtemos a expressão acima. Aqui é a capacidade térmica molar à pressão constante (unidades ), é temperatura em e tem unidades . - Como os dados são discretos (valores em pontos), vamos fazer integração numérica. Uma escolha simples, robusta e suficiente é a regra trapezoidal: se temos pares
com , então a integral aproximada entre e é
Somando todos os intervalos dá a integral de
a
(com cuidado no trecho
–
, pois os dados começam em
).
Passo 3
Trato do intervalo de baixas temperaturas
–
.
- Nas baixíssimas temperaturas para sólidos cristalinos vale aproximadamente a lei de Debye
. Então assumimos
- Estimamos
a partir do ponto em , usando o dado :
- Integrando exatamente nesse modelo:
Portanto o contributo de
a
é
. Essa é uma pequena contribuição, mas necessária para a entropia absoluta.
Passo 4
Preparação dos valores
nos pontos e estratégia de soma trapezoidal.
- Para cada ponto da tabela calculei
. Eis os valores (apresentados com algumas casas decimais):
- Para cada intervalo apliquei a regra trapezoidal
No passo seguinte listo as contribuições calculadas para cada intervalo.
Passo 5
Cálculo numérico dos trapezóides e soma final.
- Contribuições calculadas (cada linha é a integral aproximada em um intervalo):
- Somando todas as parcelas obtemos
- Arredondando de forma razoável (duas casas decimais), a estimativa final é
Passo 6
Comentário final sobre a precisão e as escolhas feitas.
- Fontes de erro/approximação: (i) uso do modelo
apenas estimado a partir do ponto a para o trecho – ; (ii) uso da regra trapezoidal em vez de uma integração com uma função contínua ajustada. Ambos os erros são pequenos: o trecho – contribuiu apenas e a tabela é relativamente densa, de modo que a regra dos trapézios é suficiente para obter precisão de algumas centésimas de . - Conclusão prática: o valor
é uma boa estimativa da entropia absoluta do glicina cristalino à temperatura pedida.