P5.24 Beginning with Equation (5.5), use Equation (5.6) to eliminate
and
to arrive at the result
.
Passo 1
O enunciado pede para, a partir da Equação (5.5), usar a Equação (5.6) para eliminar
e
e mostrar que
Informações relevantes (tomadas como as equações 5.5 e 5.6 que o enunciado menciona):
- A Equação (5.5) dá o trabalho líquido por ciclo como soma dos trabalhos nas duas isotermas:
- A Equação (5.6) é a relação adiabática entre temperatura e volume para um gás ideal (processo adiabático reversível):
onde
é a razão de capacidades térmicas
.
Passo 2
Explicando as fórmulas e variáveis usadas (aula rápida e prática):
-
é o número de mols do gás. -
é a constante universal dos gases. -
e são as temperaturas das isotermas quente e fria, respectivamente. -
são os volumes nos quatro pontos do ciclo (com a sequência típica: isoterma quente, adiabática, isoterma fria, adiabática). - Por que a Equação (5.5) tem esses termos: o trabalho realizado numa expansão isoterma de
para é obtido integrando com , o que dá
Assim os termos
e
correspondem aos trabalhos nas isotermas quente e fria, respectivamente.
- A Equação (5.6) (adiabática) pode ser obtida das leis para um processo adiabático reversível junto com a equação de estado do gás ideal; dela segue também a forma
Passo 3
Usar a relação adiabática para ligar volumes e temperaturas nos trechos
e
.
Para o trecho adiabático
(temperatura cai de
para
) vale
Isolando
,
Para o trecho adiabático
(compressão que eleva a temperatura de
para
) vale
Isolando
,
Passo 4
Observar que os fatores multiplicativos em
e
são iguais. Definindo
temos
e
. Portanto a razão entre
e
fica
Essa simplificação é a chave: a razão
se reduz a
, independentemente do valor de
.
Passo 5
Substituir
na Equação (5.5).
Partindo de
substitui-se a razão obtida no passo anterior:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
Fatorando
,