P5.24 Beginning with Equation (5.5), use Equation (5.6) to eliminate V_{c} and V_{d} to arrive at the result w_{\text {cycle }}= n R\left(T_{\text {hot }}-T_{\text {cold }}\right) \ln V_{b} / V_{a}.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir da Equação (5.5), usar a Equação (5.6) para eliminar V_{c} e V_{d} e mostrar que
w_{\text{cycle}} = n R\left(T_{\text{hot}}-T_{\text{cold}}\right)\ln\frac{V_{b}}{V_{a}}.
Informações relevantes (tomadas como as equações 5.5 e 5.6 que o enunciado menciona):
  • A Equação (5.5) dá o trabalho líquido por ciclo como soma dos trabalhos nas duas isotermas:
w_{\text{cycle}} = n R T_{\text{hot}}\ln\frac{V_{b}}{V_{a}} + n R T_{\text{cold}}\ln\frac{V_{d}}{V_{c}}.
  • A Equação (5.6) é a relação adiabática entre temperatura e volume para um gás ideal (processo adiabático reversível):
T V^{\gamma-1} = \text{constante},
onde \gamma é a razão de capacidades térmicas \gamma = C_{P}/C_{V}.

Passo 2

Explicando as fórmulas e variáveis usadas (aula rápida e prática):
  • n é o número de mols do gás.
  • R é a constante universal dos gases.
  • T_{\text{hot}} e T_{\text{cold}} são as temperaturas das isotermas quente e fria, respectivamente.
  • V_{a},V_{b},V_{c},V_{d} são os volumes nos quatro pontos do ciclo (com a sequência típica: a\to b isoterma quente, b\to c adiabática, c\to d isoterma fria, d\to a adiabática).
  • Por que a Equação (5.5) tem esses termos: o trabalho realizado numa expansão isoterma de V_i para V_f é obtido integrando P\,dV com P=nRT/V, o que dá
W_{\text{isoterma}} = \int_{V_i}^{V_f} P\,dV = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\ln\frac{V_f}{V_i}.
Assim os termos n R T_{\text{hot}}\ln\frac{V_{b}}{V_{a}} e n R T_{\text{cold}}\ln\frac{V_{d}}{V_{c}} correspondem aos trabalhos nas isotermas quente e fria, respectivamente.
  • A Equação (5.6) (adiabática) pode ser obtida das leis para um processo adiabático reversível junto com a equação de estado do gás ideal; dela segue também a forma
T V^{\gamma-1}=\text{const}.

Passo 3

Usar a relação adiabática para ligar volumes e temperaturas nos trechos b\to c e d\to a.
Para o trecho adiabático b\to c (temperatura cai de T_{\text{hot}} para T_{\text{cold}}) vale
T_{\text{hot}}\,V_{b}^{\gamma-1} = T_{\text{cold}}\,V_{c}^{\gamma-1}.
Isolando V_{c},
V_{c}^{\gamma-1} = \frac{T_{\text{hot}}}{T_{\text{cold}}}\,V_{b}^{\gamma-1} \quad\Rightarrow\quad V_{c} = V_{b}\left(\frac{T_{\text{hot}}}{T_{\text{cold}}}\right)^{\!1/(\gamma-1)}.
Para o trecho adiabático d\to a (compressão que eleva a temperatura de T_{\text{cold}} para T_{\text{hot}}) vale
T_{\text{cold}}\,V_{d}^{\gamma-1} = T_{\text{hot}}\,V_{a}^{\gamma-1}.
Isolando V_{d},
V_{d}^{\gamma-1} = \frac{T_{\text{hot}}}{T_{\text{cold}}}\,V_{a}^{\gamma-1} \quad\Rightarrow\quad V_{d} = V_{a}\left(\frac{T_{\text{hot}}}{T_{\text{cold}}}\right)^{\!1/(\gamma-1)}.

Passo 4

Observar que os fatores multiplicativos em V_{c} e V_{d} são iguais. Definindo
X \equiv \left(\frac{T_{\text{hot}}}{T_{\text{cold}}}\right)^{\!1/(\gamma-1)},
temos V_{c}=V_{b}X e V_{d}=V_{a}X. Portanto a razão entre V_{d} e V_{c} fica
\frac{V_{d}}{V_{c}} = \frac{V_{a}X}{V_{b}X} = \frac{V_{a}}{V_{b}}.
Essa simplificação é a chave: a razão V_{d}/V_{c} se reduz a V_{a}/V_{b}, independentemente do valor de X.

Passo 5

Substituir \dfrac{V_{d}}{V_{c}}=\dfrac{V_{a}}{V_{b}} na Equação (5.5).
Partindo de
w_{\text{cycle}} = n R T_{\text{hot}}\ln\frac{V_{b}}{V_{a}} + n R T_{\text{cold}}\ln\frac{V_{d}}{V_{c}},
substitui-se a razão obtida no passo anterior:
w_{\text{cycle}} = n R T_{\text{hot}}\ln\frac{V_{b}}{V_{a}} + n R T_{\text{cold}}\ln\frac{V_{a}}{V_{b}}.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln\frac{V_{a}}{V_{b}} = -\ln\frac{V_{b}}{V_{a}}, obtemos
w_{\text{cycle}} = n R T_{\text{hot}}\ln\frac{V_{b}}{V_{a}} - n R T_{\text{cold}}\ln\frac{V_{b}}{V_{a}}.
Fatorando nR\ln\frac{V_{b}}{V_{a}},
w_{\text{cycle}} = n R\left(T_{\text{hot}}-T_{\text{cold}}\right)\ln\frac{V_{b}}{V_{a}}.

Resposta

w_{\text{cycle}} = n R\left(T_{\text{hot}}-T_{\text{cold}}\right)\ln\frac{V_{b}}{V_{a}}

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