One mole of a van der Waals gas at
is expanded isothermally and reversibly from an initial volume of
to a final volume of
. For the van der Waals gas,
. Assume that
, and that
. Calculate
, and
for the process.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos estes valores do enunciado):
- Número de mols:
. - Temperatura:
. - Volume inicial:
. - Volume final:
. - Parâmetros van der Waals:
e . - Relação dada:
, onde é o volume molar.
O enunciado pede que eu calcule, para a expansão isotérmica reversível entre
e
, os valores de:
-
(calor trocado), -
(trabalho), -
(variação de energia interna), -
(variação de entalpia), -
(variação de entropia).
Passo 2
Plano de resolução e fórmulas principais (explicando a teoria passo a passo, sem pular etapas):
- Primeira lei da termodinâmica (convenção usual):
onde
é o calor absorvido pelo sistema e
o trabalho feito sobre o sistema (sinal positivo para trabalho sobre o sistema). Para processos reversíveis de gases costumamos calcular
por
onde
é a pressão do gás durante o processo reversível.
- Para o gás van der Waals (uma molécula de gás não-ideal), a equação de estado molar é
Aqui
é a constante dos gases perfeitos (
), e
é o volume molar. Como temos
mol, numericamente
(mas atenção às unidades:
tem unidades
). Quando eu escrever integrais em
vou usar a forma com
sabendo que
.
- A variação de energia interna para uma mudança isoterma pode ser obtida integrando a derivada fornecida:
Isto quer dizer que a variação molar de energia interna entre dois volumes molares
e
é
Explico: a integral de
é
, avaliando os limites fica
, que reescrevi como acima. Para
temos
e
.
- O trabalho reversível é
Faço a integral termo a termo:
Portanto o resultado da integral definida é
e assim
- Para a entropia, para um processo reversível isotérmico,
Como o processo é reversível e isotérmico, posso usar
.
- Para a entalpia, uso
Vou precisar dos valores de
e
a partir da equação de van der Waals:
Vou agora aplicar essas fórmulas com os números dados, mostrando as contas com calma.
Passo 3
Cálculo de
(variação de energia interna):
Usando a fórmula derivada:
Substituindo números (todos os valores dentro de um ambiente matemático):
Calcule os recíprocos:
Diferença:
Multiplicando por
:
Interpretação rápida: a energia interna aumentou porque as forças intermoleculares (termo
) fazem com que, ao expandir, a energia interna mude com o volume; nesse caso o aumento é pequeno comparado ao calor trocado.
Passo 4
Cálculo do trabalho reversível
:
Usamos a expressão integral obtida no passo 2,
Primeiro calculo
:
Calculo
e
(peguei
do enunciado):
Razão e logaritmo:
Logo o primeiro termo:
O segundo termo é exatamente
. Calculamos
no Passo 3 e obtivemos
para essa combinação; mais precisamente:
Então
Somando os dois termos:
Interpretação:
negativo significa que a energia de trabalho saiu do sistema (o gás realizou trabalho sobre o arredor) — faz sentido para uma expansão reversível.
Passo 5
Cálculo do calor
usando a primeira lei:
Substituindo os valores numéricos:
Observação física: esse
é positivo, ou seja, calor foi absorvido pelo gás durante a expansão isotérmica reversível — novamente faz sentido: a energia necessária para manter a temperatura constante vem do calor recebido.
Passo 6
Cálculo de
(variação de entropia) para processo reversível isotérmico:
A relação direta é
Substituindo:
Interpretação: entropia do sistema aumentou (expansão irrestrita aumenta entropia; aqui é reversível, então
é exatamente
).
Passo 7
Cálculo de
(variação de entalpia):
Usei a expressão
Então preciso de
e
da equação de van der Waals:
Calculo de
:
Avaliação numérica:
logo
Calculo de
:
Avaliação numérica:
logo
Agora
e
:
Diferença:
Finalmente,
Comentário físico:
é positivo e maior que
por conta do aumento do produto
entre os estados.