P5.23 Calculate \Delta S if the temperature of 2.50 mol of an ideal gas with C_{V}=5 / 2 R is increased from 160. to 675 K under conditions of (a) constant pressure and (b) constant volume.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Quantidade de gás: n=2,50\\ \text{mol}.
  • Capacidade térmica a volume constante: C_{V}=\tfrac{5}{2}R.
  • Temperaturas inicial e final: T_{1}=160\\ \text{K} e T_{2}=675\\ \text{K}.
  • Pedidos:
    • (a) Calcular \Delta S quando a temperatura aumenta de T_{1} para T_{2} a pressão constante.
    • (b) Calcular \Delta S quando a temperatura aumenta de T_{1} para T_{2} a volume constante.

Passo 2

Conceito e fórmula básica que vamos usar (aula rápida e direta):
  • Entropia é uma função de estado. A variação de entropia entre dois estados pode ser calculada por
\Delta S=\int_{i}^{f}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado de forma reversível e T é a temperatura.
  • Em processos à pressão constante e volume constante, o calor reversível elementar pode ser escrito em função da capacidade térmica:
    • Em processo isocórico: \delta Q_{\text{rev}}=n C_{V}\,dT.
    • Em processo isobárico: \delta Q_{\text{rev}}=n C_{P}\,dT.
  • Para gás ideal vale a relação de Mayer:
C_{P}=C_{V}+R.
Aqui R é a constante universal dos gases, com valor numérico R=8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Explicando as variáveis: n é número de mols, C_{V} e C_{P} são capacidades molares (por mol) a volume e pressão constantes, respectivamente.

Passo 3

Derivar a fórmula prática para cada caso (integração passo a passo):
  • Processo isocórico:
\Delta S=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{n C_{V}\,dT}{T}=n C_{V}\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{dT}{T}=n C_{V}\ln\!\left(\dfrac{T_{2}}{T_{1}}\right).
  • Processo isobárico:
\Delta S=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{n C_{P}\,dT}{T}=n C_{P}\ln\!\left(\dfrac{T_{2}}{T_{1}}\right).
Observação didática: como C_{V} e C_{P} foram dados/assumidos constantes, a integral se reduz à forma logarítmica acima.

Passo 4

Calcular C_{P} e preparar os fatores numéricos:
  • Dado \displaystyle C_{V}=\frac{5}{2}R. Logo
C_{P}=C_{V}+R=\frac{5}{2}R+R=\frac{7}{2}R.
  • Calcular nC_{V} e nC_{P} em \mathrm{J/K}:
nC_{V}=2,50\cdot\frac{5}{2}R=(2,50\cdot2,5)R=6,25\,R.
nC_{P}=2,50\cdot\frac{7}{2}R=(2,50\cdot3,5)R=8,75\,R.
Usando R=8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}:
nC_{V}=6,25\times8,314=51,9625\\ \mathrm{J/K}\approx51,96\\ \mathrm{J/K},
nC_{P}=8,75\times8,314=72,7475\\ \mathrm{J/K}\approx72,75\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Calcular o logaritmo \ln(T_{2}/T_{1}):
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{675}{160}=4,21875,
\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)=\ln(4,21875)\approx1,43955.

Passo 6

Calcular \Delta S em cada processo multiplicando os fatores:
  • Isochórico (volume constante):
\Delta S_{V}=nC_{V}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)=51,9625\times1,43955\approx74,80\\ \mathrm{J/K}.
  • Isobárico (pressão constante):
\Delta S_{P}=nC_{P}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)=72,7475\times1,43955\approx104,74\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo:
  • Resultado faz sentido físico: para a mesma variação de temperatura o calor fornecido (e portanto a entropia trocada) é maior em processo isobárico porque C_{P}>C_{V}. Está indo bem — essas contas de entropia se resolvem sempre com a mesma ideia: encontrar \delta Q_{\text{rev}} e integrar \delta Q_{\text{rev}}/T.

Resposta

(a) \Delta S_{P}\approx104,7\\ \mathrm{J/K}
(b) \Delta S_{V}\approx74,8\\ \mathrm{J/K}

Exercícios relacionados