A FTMF de um sistema de controle com K>0 :
F(s)=K(s+2)[s^3+8 s^2+(100+K) s+2 K]
Qual é o tipo do sistema? Qual é o valor da constante de erro de velocidade Kv em função de K ? Qual(is) é(são) o(s) valor(es) de K que resulta(m) em um erro estático inferior a 0,25 para uma entrada r(t)=t2 u(t) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a Função de Transferência de Malha Fechada (FTMF) de um sistema de controle:
F(s)=K(s+2)s^3+8 s^2+(100+K) s+2 K
Nosso objetivo aqui é:
  1. Determinar o tipo do sistema.
  2. Encontrar a constante de erro de velocidade em função de .
  3. Descobrir quais valores de fazem com que o erro estático para uma entrada seja inferior a 0,25.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de tipos de sistema em controle, como calcular a constante de erro de velocidade e analisar o erro estático para uma determinada entrada.

Passo 2

Tipo do Sistema
Em teoria de controle, o tipo do sistema está relacionado com o número de polos no eixo de origem (s=0) na função de realimentação de malha fechada. Simplificando:
  • Tipo 0: Nenhum polo em s=0.
  • Tipo 1: Um polo em s=0.
  • Tipo 2: Dois polos em s=0.
  • E assim por diante.
Olhemos a função de transferência dada:
F(s)=K(s+2)s^3+8 s^2+(100+K) s+2 K
Para identificar o tipo, precisamos ver quantos polos estão em s=0, ou seja, quantos fatores s^3+8 s^2+(100+K) s+2 K estão no denominador que se anulam quando s=0.
Analisando o denominador:
0 + 0 + 0 + 2K = 2K neq 0
Substituindo s=0:
Isso significa que não há polos em s=0.
Portanto, o sistema é do Tipo 0.

Passo 3

Constante de Erro de Velocidade Kv = lims to 0 s cdot F(s)
A constante de erro de velocidade Kv = lims to 0 s cdot K(s+2)s^3+8 s^2+(100+K) s+2 K é usada para avaliar o erro estacionário quando a entrada é uma rampa, ou seja, s cdot K(s+2) = K s (s + 2) = K s^2 + 2 K s . Ela é definida como:
s^3+8 s^2+(100+K) s+2 K
Vamos calcular isso para nossa função de transferência:
K s^2 + 2 K s approx 0 (pois s tende a 0)
Simplificando a expressão:
Primeiro, multiplicamos s pelo numerador:
s^3+8 s^2+(100+K) s+2 K approx 2K (os termos com s tendem a 0)
O denominador permanece:
Kv = 02K = 0
Agora, avaliamos o limite quando s tende a 0:
E o denominador:
Então:
Portanto, .

Passo 4

Erro Estático para a Entrada
A entrada dada é uma rampa: , onde é a função degrau de Heaviside. Para sistemas do Tipo 0, o erro estático para uma rampa é infinito porque , o que sugere que não há realimentação para corrigir esse erro.
No entanto, o enunciado pede para encontrar valores de que resultam em um erro estático inferior a 0,25. Mas, como , teoricamente, o erro é sempre infinito para qualquer > 0.
Portanto, não existe valor de que faça o erro estático ser inferior a 0,25 para essa entrada.

Resposta

  1. O sistema é do Tipo 0.
  2. A constante de erro de velocidade é .
  3. Não existe valor de que resulte em um erro estático inferior a 0,25 para a entrada .

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