A função de uma determinada onda é
y(x, t)=10 sen[2 pi(2 x-100 t)]
onde x e y está em metros e t em segundos.
Encontre a velocidade de propagação da onda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de uma onda dada por:
y(x, t) = 10, sin[2pi(2x - 100t)]
Aqui, $ x $ e $ y $ estão em metros e $ t $ em segundos. Nosso objetivo é encontrar a velocidade de propagação dessa onda. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre ondas e como identificar os parâmetros que determinam a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de uma onda geralmente é escrita na forma:
y(x, t) = A, sin(kx - omega t)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda,
  • $ k $ é o número de onda, que está relacionado ao comprimento de onda ($ \lambda $) pela fórmula $ k = \frac{2\pi}{\lambda} $,
  • $ \omega $ é a frequência angular, relacionada ao período ($ T A àê f $) por $ \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} $.

Passo 3

Comparando a nossa função dada com a forma padrão, temos:
y(x, t) = 10, sin[2pi(2x - 100t)] = 10, sin[(4pi x) - (200pi t)]
Assim, podemos identificar que:
  • $ k = 4\pi $ rad/m
  • $ \omega = 200\pi $ rad/s

Passo 4

A velocidade de propagação ($ v $) da onda é dada pela relação entre $ \omega $ e $ k $:
v
Isso significa que a velocidade depende diretamente da frequência angular e inversamente do número de onda.

Passo 5

Agora, substituindo os valores que encontramos:
v = 200pi4pi = 2004 = 50, m/s
Portanto, a velocidade de propagação da onda é de 50 metros por segundo.

Resposta

A velocidade de propagação da onda é de 50 m/s.

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