Seja a função de onda estacionária:
y(x, t)=ym cos (k x) sen(w t)
Determine: partial^2 ypartial t^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda estacionária dada por:
y(x, t) = ym cos(k x) sin(omega t)
O que a gente precisa encontrar é a segunda derivada dessa função em relação ao tempo, ou seja, partial^2 ypartial t^2. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivada parcial. Quando temos uma função que depende de mais de uma variável (nesse caso, x e t), a derivada parcial em relação a uma variável considera a outra como constante. Aqui, queremos derivar em relação ao tempo ( t), então vamos tratar x como uma constante.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada da função y(x, t) em relação ao tempo t. A função é:
y(x, t) = ym cos(k x) sin(omega t)
A derivada de sin(omega t) em relação a t é omega cos(omega t). Aplicando isso:
partial ypartial t = ym cos(k x) cdot omega cos(omega t)
Simplificando:
partial ypartial t = omega ym cos(k x) cos(omega t)

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a t. Isso significa derivar novamente a expressão que acabamos de encontrar:
partial ypartial t = omega ym cos(k x) cos(omega t)
A derivada de cos(omega t) em relação a t é - omega sin(omega t). Então:
partial^2 ypartial t^2 = omega ym cos(k x) cdot (-omega sin(omega t))
Simplificando:
partial^2 ypartial t^2 = -omega^2 ym cos(k x) sin(omega t)

Resposta

A segunda derivada da função de onda em relação ao tempo é:
partial^2 ypartial t^2 = -omega^2 ym cos(k x) sin(omega t)

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