O parâmetro
(pólo em MA ) pode ser escolhido selecionando-se o motor CC apropriado para a leitura óptica. Esboçar o lugar das raízes em função dos valores de
(considerar
). Selecionar um valor de
de modo que o
das raízes complexas da equação característica seja aproximadamente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função de transferência
. Vamos trabalhar com o lugar das raízes (root locus) em relação ao parâmetro
, que varia de 0 até o infinito. Nosso objetivo é esboçar esse lugar das raízes e escolher um valor de
que faça o fator de amortecimento
das raízes complexas ser aproximadamente
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre lugares das raízes e como o fator de amortecimento se relaciona com a posição dos polos no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos da função de transferência. Os polos são os valores de
que fazem o denominador zero:
Então, temos três polos:
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o lugar das raízes mostra como os polos do sistema se movem no plano complexo à medida que o parâmetro
varia. Para desenhar o lugar das raízes, identificamos os eixos principais e pontos de partida e chegada dos polos.
Passo 4
Os pontos de partida são os polos do sistema quando
:
Note que quando
, o polo
também está em
. Conforme
aumenta, esse polo se move para a esquerda no eixo real.
Passo 5
Os polos de chegada são os zeros do sistema quando
. No nosso caso, como não há zeros finitos (o numerador é constante), os polos vão para o infinito seguindo direções específicas. A regra geral para a direção é
, onde
é o número de polos e
o de zeros. Aqui,
, então as direções são
,
e
.
Passo 6
Vamos agora identificar os eixos onde o lugar das raízes existe. Isso acontece nas regiões do eixo real onde a soma dos ângulos dos vetores que vão para os polos é um múltiplo de
. No nosso caso, isso ocorre entre
e
.
Passo 7
Com isso, sabemos que o lugar das raízes está no eixo real entre
e
e se estende para os verificados direções de infinito conforme
aumenta. Agora, queremos escolher um valor de
que faça o fator de amortecimento
ser aproximadamente
.
Passo 8
Sabemos que o fator de amortecimento
está relacionado ao ângulo dos pólos no plano complexo. Quando
, isso corresponde a um ângulo de
em relação ao eixo real. Então, buscamos um par de raízes complexas com esse ângulo.
Passo 9
Para encontrar esse valor de
, usamos a relação entre o fator de amortecimento e a posição dos polos:
Onde
. Assim,
Isso significa que os polos estarão a
do eixo real.
Passo 10
Aplicando métodos como o método de localização de polos ou utilizando ferramentas gráficas, encontramos que para
, as raízes complexas possuem o fator de amortecimento desejado de aproximadamente
.
Resposta
O valor de
que faz o fator de amortecimento
das raízes complexas ser aproximadamente
é
.