G(s)=10s(s+1)(s+p)
O parâmetro p (pólo em MA ) pode ser escolhido selecionando-se o motor CC apropriado para a leitura óptica. Esboçar o lugar das raízes em função dos valores de p (considerar 0 <= p ). Selecionar um valor de p de modo que o zeta das raízes complexas da equação característica seja aproximadamente 1 / raiz2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função de transferência . Vamos trabalhar com o lugar das raízes (root locus) em relação ao parâmetro , que varia de 0 até o infinito. Nosso objetivo é esboçar esse lugar das raízes e escolher um valor de que faça o fator de amortecimento das raízes complexas ser aproximadamente . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre lugares das raízes e como o fator de amortecimento se relaciona com a posição dos polos no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função de transferência. Os polos são os valores de s(s+1)(s+p) = 0 implies s = 0, s = -1, s = -p que fazem o denominador zero:
Então, temos três polos: , e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o lugar das raízes mostra como os polos do sistema se movem no plano complexo à medida que o parâmetro varia. Para desenhar o lugar das raízes, identificamos os eixos principais e pontos de partida e chegada dos polos.

Passo 4

Os pontos de partida são os polos do sistema quando s = 0, s = -1, s = 0 :
Note que quando , o polo também está em . Conforme aumenta, esse polo se move para a esquerda no eixo real.

Passo 5

Os polos de chegada são os zeros do sistema quando . No nosso caso, como não há zeros finitos (o numerador é constante), os polos vão para o infinito seguindo direções específicas. A regra geral para a direção é , onde é o número de polos e o de zeros. Aqui, , então as direções são , e .

Passo 6

Vamos agora identificar os eixos onde o lugar das raízes existe. Isso acontece nas regiões do eixo real onde a soma dos ângulos dos vetores que vão para os polos é um múltiplo de . No nosso caso, isso ocorre entre e .

Passo 7

Com isso, sabemos que o lugar das raízes está no eixo real entre e e se estende para os verificados direções de infinito conforme aumenta. Agora, queremos escolher um valor de que faça o fator de amortecimento ser aproximadamente .

Passo 8

Sabemos que o fator de amortecimento está relacionado ao ângulo dos pólos no plano complexo. Quando , isso corresponde a um ângulo de em relação ao eixo real. Então, buscamos um par de raízes complexas com esse ângulo.

Passo 9

Para encontrar esse valor de zeta = cos(theta) , usamos a relação entre o fator de amortecimento e a posição dos polos:
1raiz2 = cos(45^circ)
Onde . Assim,
Isso significa que os polos estarão a do eixo real.

Passo 10

Aplicando métodos como o método de localização de polos ou utilizando ferramentas gráficas, encontramos que para , as raízes complexas possuem o fator de amortecimento desejado de aproximadamente .

Resposta

O valor de que faz o fator de amortecimento das raízes complexas ser aproximadamente é .

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