O gás clássico relativístico contido em um recipiente de volume V , a temperatura T tem energia livre de Gibbs dada por,
Onde a, C e kB são constantes. Calcule,
a) a energia livre de Helmholtz
b) a entropia
c) escreva a forma diferencial da entropia como função das variáveis T e V
d) Se o volume do recipiente que contém o gás for mantido constante quanto de calor deve ser adicionado para que sua temperatura seja duplicada
e) a quantidade de calor recebida pelo gás em uma expansão isotérmica quando o volume inicialmente igual a é triplicado.
Passo 1
O enunciado descreve um gás clássico relativístico, de volume e temperatura , cuja energia livre de Gibbs é
e cuja pressão satisfaz
Precisaremos de:
A definição de energia livre de Helmholtz .
A relação .
A forma diferencial .
A Primeira Lei , com .
Para processos a volume constante (), .
Para expansão isotérmica (), .
Passo 2
(a) Energia livre de Helmholtz
Passo 3
(b) Entropia via
Calculemos as derivadas separadas:
Logo
Passo 4
(c) Forma diferencial de . Das parciais:
partial Spartial V|T = N kB,1V ;+;4,a,T^3
Portanto
dS =l(3N kBT+12,a,T^2Vr)dT +l(N kBV+4,a,T^3r)dV
Passo 5
(d) Calor em aquecimento de T para 2T a V constante.
A Primeira Lei, com dV=0, dá
dU=T,dS,
portanto
QV =De<a U =integralT^2TT,l(partial Spartial Tr)VdT =integralT^2TTl(3N kBT+12,a,T^2Vr)dT