O gás clássico relativístico contido em um recipiente de volume V , a temperatura T tem energia livre de Gibbs G(T, V) dada por,
G(T, V)=-N kB T Ln(VN C T^3) P=a T^4
Onde a, C e kB são constantes. Calcule,
a) a energia livre de Helmholtz
b) a entropia
c) escreva a forma diferencial da entropia como função das variáveis T e V
d) Se o volume do recipiente que contém o gás for mantido constante quanto de calor deve ser adicionado para que sua temperatura seja duplicada
e) a quantidade de calor recebida pelo gás em uma expansão isotérmica quando o volume inicialmente igual a V0 é triplicado.

Passo 1

O enunciado descreve um gás clássico relativístico, de volume V e temperatura T, cuja energia livre de Gibbs é
G(T,V) ;=;-N kBTln!l(VN,C,T^3r)
e cuja pressão satisfaz
P ;=;a,T^4
Precisaremos de:
  • A definição de energia livre de Helmholtz F=G-PV.
  • A relação S=-l(partial F/partial Tr)V.
  • A forma diferencial dS=l(partial S/partial Tr)VdT+l(partial S/partial Vr)TdV.
  • A Primeira Lei dU=T,dS - P,dV, com U=F+TS.
  • Para processos a volume constante ( dV=0), Q=De<a U.
  • Para expansão isotérmica ( De<a T=0), Q=T,De<a S.

Passo 2

(a) Energia livre de Helmholtz
F(T,V)=G(T,V)-P,V =-N kBTln!l(VNC,T^3r);-;a,T^4V

Passo 3

(b) Entropia S via
S=-l(partial Fpartial Tr)V
Calculemos as derivadas separadas:
F1=-N kBTln!l(tfracVNC,T^3r)
partial F1partial T =-N kBl[ln!l(tfracVNC,T^3r)+Tcdot3Tr] =-N kBl[ln!l(tfracVNC,T^3r)+3r]
F2=-a,T^4V
partial F2partial T =-4a,T^3V
Logo
S =-l(partial F1partial T+partial F2partial Tr) =N kBl[ln!l(tfracVNC,T^3r)+3r] ;+;4,a,T^3V

Passo 4

(c) Forma diferencial de S(T,V). Das parciais:
partial Spartial T|V = N kB,3T ;+;4,a,V,ddT(T^3) = 3N kBT +12,a,T^2V,
partial Spartial V|T = N kB,1V ;+;4,a,T^3
Portanto
dS =l(3N kBT+12,a,T^2Vr)dT +l(N kBV+4,a,T^3r)dV

Passo 5

(d) Calor em aquecimento de T para 2T a V constante.
A Primeira Lei, com dV=0, dá
dU=T,dS,
portanto
QV =De<a U =integralT^2TT,l(partial Spartial Tr)VdT =integralT^2TTl(3N kBT+12,a,T^2Vr)dT
Separe e integre:
integralT^2T3N kB,dT =3N kB,(2T-T)=3N kBT,
integralT^2T12,a,T^3V,dT =12,a,V;(2T)^4-T^44 =3,a,Vl(16T^4-T^4r) =45,a,V,T^4
Logo
QV =3N kBT+45,a,V,T^4

Passo 6

(e) Calor em expansão isotérmica ( De<a T=0) de V0 para 3V0.
Como De<a T=0, De<a Uneq0 pois U depende também de V. Mas vale
Qrm iso=T,De<a S =Tl[S(T,3V0)-S(T,V0)r]
Da expressão de S:
De<a S =N kBln!3V0V0 +4,a,T^3(3V0-V0) =N kBln3 +8,a,T^3V0
Portanto
Qrm iso =Tl(N kBln3+8,a,T^3V0r) =N kBTln3+8,a,V0T^4

Resposta

(a) F=-N kBTln!l(tfracVNC,T^3r)-a,T^4V
(b) S=N kBl[ln!l(tfracVNC,T^3r)+3r]+4,a,T^3V
(c) dS=l(3N kBT+12,a,T^2Vr)dT+l(N kBV+4,a,T^3r)dV
(d) QV=3N kBT+45,a,V,T^4
(e) Qrm iso=N kBTln3+8,a,V0T^4

Exercícios relacionados