Um mol de um certo gás obedece a seguinte equação de estado, onde V é seu volume molar
V=R TP-CT^3 C é constante é
b) Calcule a variação da energia interna do gás quando ele sofre uma expansão isotérmica à temperatura T0, e seu volume vai de V0 para 3 V0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de estado de um mol de gás não-ideal
V = R,TP ;-;CT^3
e pede a variação da energia interna De<a U quando o gás sofre expansão isotérmica à temperatura T0, passando de V0 para 3V0. Para isso vamos precisar da identidade termodinâmica
dU = l(tfracpartial Upartial Tr)V,dT ;+;l(tfracpartial Upartial Vr)T,dV
e da relação de Maxwell
l(tfracpartial Upartial Vr)T ;=; Tl(tfracpartial Ppartial Tr)V;-;P,

Passo 2

Como a transformação é isotérmica em T0, temos dT=0 e portanto
dU ;=;l(tfracpartial Upartial Vr)T0,dV =;l[T,l(tfracpartial Ppartial Tr)V;-;Pl]T=T0,dV,

Passo 3

Precisamos expressar P como função de V e T. Da equação de estado isolamos P:
V = R,TP - C,T^-3 Longrightarrow P = R,T,V + C,T^-3,,

Passo 4

Calculamos l(tfracpartial Ppartial Tr)V mantendo V fixo:
P = R,T,(V + C,T^-3)^-1 Longrightarrow l(tfracpartial Ppartial Tr)V = R,V + C,T^-3, ;+;R,Tcdotl(-1r)(V + C,T^-3)^-2cdot(-3,C,T^-4)
= R,V + C,T^-3, ;+;3,R,C,T^-3,(V + C,T^-3)^2
Logo, em T=T0,
T0l(tfracpartial Ppartial Tr)V - P = underbraceR,T0,V + C,T0^-3,=P ;+;3,R,C,T0^-2,(V + C,T0^-3)^2 ;-;R,T0,V + C,T0^-3, = 3,R,C,T0^2,(V + C,T0^-3)^2

Passo 5

Integramos dU de V0 a 3V0:
De<a U = integralV0^3V0 3,R,C,T0^2,l(V + C,T0^-3r)^2,dV = 3,R,CT0^2 integralV0^3V0 (V + C,T0^-3)^-2,dV
Fazendo a primitiva,
integral (V + A)^-2,dV = -1,V + A,, A = C,T0^-3,
obtemos
De<a U = 3,R,CT0^2 l[-1,V + A,r]V0^3V0 = 3,R,CT0^2 l(1,V0 + C,T0^-3, - 1,3V0 + C,T0^-3,r)

Resposta

boxed De<a U = 3,R,CT0^2, l(1,V0 + C,T0^-3, - 1,3V0 + C,T0^-3,r)

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