Um gás é confinado em um cilindro com
de diâmetro por um êmbolo, sobre o qual repousa um contrapeso. Juntos, o êmbolo e o contrapeso possuem massa de 250 lbm . A aceleração da gravidade local é de
, e a pressão atmosférica é de
.
a) Qual é a força em lbf exercida no gás pela atmosfera, êmbolo e contrapeso, admitindo que não há atrito entre o êmbolo e o cilindro?
b) Qual a pressão do gás em psia?
c) Se o gás np cilindro for aquecido, ele se expande, empurrando para cima o êmbolo e o contrapeso. Se o êmbolo e o contrapeso forem erguidos em 1,7ft, qual é o trabalho realizado pelo gás em (ft lbf) ? Qual é a variação da energia potencial do êmbolo e do contrapeso?
R: a)
b)
c)
.
a) Qual é a força em lbf exercida no gás pela atmosfera, êmbolo e contrapeso, admitindo que não há atrito entre o êmbolo e o cilindro?
b) Qual a pressão do gás em psia?
c) Se o gás np cilindro for aquecido, ele se expande, empurrando para cima o êmbolo e o contrapeso. Se o êmbolo e o contrapeso forem erguidos em 1,7ft, qual é o trabalho realizado pelo gás em (ft lbf) ? Qual é a variação da energia potencial do êmbolo e do contrapeso?
R: a)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas listadas abaixo:
- Diâmetro do cilindro:
. - Massa do êmbolo mais contrapeso:
. - Aceleração da gravidade local:
. - Pressão atmosférica:
. - Não há atrito entre o êmbolo e o cilindro.
- Deslocamento vertical do êmbolo:
(apenas para a parte (c)).
Perguntas:
a) Qual é a força em lbf exercida no gás pela atmosfera, pelo êmbolo e pelo contrapeso (força total descendente sobre o gás)?
b) Qual é a pressão do gás em psia (pressão absoluta no interior do cilindro antes da elevação)?
c) Se o êmbolo subir : qual é o trabalho realizado pelo gás (em
)? Qual é a variação da energia potencial do êmbolo e contrapeso (em
)?
a) Qual é a força em lbf exercida no gás pela atmosfera, pelo êmbolo e pelo contrapeso (força total descendente sobre o gás)?
b) Qual é a pressão do gás em psia (pressão absoluta no interior do cilindro antes da elevação)?
c) Se o êmbolo subir
Passo 2
Vamos calcular a área da seção transversal do cilindro (para relacionar força e pressão). A área de um círculo é
. O raio é metade do diâmetro:
Portanto
Explicação rápida: precisamos dessa área porque pressão (força por unidade de área) vezes área nos dá força.
Passo 3
Convertemos a pressão atmosférica dada em polegadas de mercúrio para psi (lbf/in²) — é mais prático trabalhar em psi e depois para lbf/ft² quando multiplicarmos pela área em
.
Usamos a conversão padrão
Logo
Para obter a pressão em
(pois a área está em
) multiplicamos por
(pois
):
Passo 4
Convertendo a massa do êmbolo+contrapeso em força peso (lbf). Em unidades inglesas usamos
onde
é em
,
é a aceleração local
e
é a constante de conversão
(valor padrão). Substituindo:
Explicação: essa é a força peso que atua para baixo devido à massa; a diferença entre
e
é tratada por essa conversão.
Passo 5
Agora calculamos a força total descendente sobre o gás: força da atmosfera (pressão atmosférica vezes área) mais o peso do êmbolo+contrapeso.
Força da atmosfera:
Força total sobre o gás:
Interpretação: essa é a força descendente que o gás precisa equilibrar (ou vencer, ao expandir) — corresponde à força exercida no gás pela atmosfera, pelo êmbolo e pelo contrapeso.
Passo 6
Pressão do gás em psia antes da elevação: pressão absoluta interna deve equilibrar a pressão externa mais a contribuição do peso por unidade de área. Podemos somar as pressões (em psi):
Pressão correspondente ao peso do êmbolo e contrapeso (em psi):
mais conveniente é escrever
Portanto a pressão do gás é
Explicação: pressão absoluta no interior deve suportar tanto a pressão atmosférica quanto o “peso por área” do conjunto êmbolo+contrapeso.
Passo 7
Trabalho realizado pelo gás quando o êmbolo sobe
.
Quando o êmbolo sobe lentamente sem atrito e com força praticamente constante (a pressão externa mais peso é constante), o trabalho realizado pelo gás é
Já temos
. Logo
Comentário físico: o gás realiza trabalho para levantar tanto contra a atmosfera quanto contra o peso do êmbolo.
Passo 8
Variação da energia potencial gravitacional do êmbolo + contrapeso ao subir
:
A variação de energia potencial é simplesmente o peso vezes a altura (lembrando que usamos o peso em lbf):
Explicação: esse é o incremento de energia armazenada gravitacionalmente no êmbolo+contrapeso. A diferença entre o trabalho do gás e
corresponde ao trabalho realizado contra a atmosfera (ou energia transferida para o ar ambiente).
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)