Um gás é confinado em um cilindro com 1,25 \mathrm{ft} de diâmetro por um êmbolo, sobre o qual repousa um contrapeso. Juntos, o êmbolo e o contrapeso possuem massa de 250 lbm . A aceleração da gravidade local é de 32,169 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}, e a pressão atmosférica é de 30,12 \mathrm{inHg}.
a) Qual é a força em lbf exercida no gás pela atmosfera, êmbolo e contrapeso, admitindo que não há atrito entre o êmbolo e o cilindro?
b) Qual a pressão do gás em psia?
c) Se o gás np cilindro for aquecido, ele se expande, empurrando para cima o êmbolo e o contrapeso. Se o êmbolo e o contrapeso forem erguidos em 1,7ft, qual é o trabalho realizado pelo gás em (ft lbf) ? Qual é a variação da energia potencial do êmbolo e do contrapeso?
R: a) 2864,042 \mathrm{lbf} b) 16,2036 \mathrm{psia} c) 4868,871 \mathrm{ft} \mathrm{lbf} \mathrm{;} 424,8827 \mathrm{ft} \mathrm{lbf}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas listadas abaixo:
  • Diâmetro do cilindro: \,1,25\\ \mathrm{ft}.
  • Massa do êmbolo mais contrapeso: \,250\\ \mathrm{lbm}.
  • Aceleração da gravidade local: \,32,169\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
  • Pressão atmosférica: \,30,12\\ \mathrm{inHg}.
  • Não há atrito entre o êmbolo e o cilindro.
  • Deslocamento vertical do êmbolo: \,1,7\\ \mathrm{ft} (apenas para a parte (c)).
Perguntas:
a) Qual é a força em lbf exercida no gás pela atmosfera, pelo êmbolo e pelo contrapeso (força total descendente sobre o gás)?
b) Qual é a pressão do gás em psia (pressão absoluta no interior do cilindro antes da elevação)?
c) Se o êmbolo subir \,1,7\\ \mathrm{ft}: qual é o trabalho realizado pelo gás (em \mathrm{ft\\ lbf})? Qual é a variação da energia potencial do êmbolo e contrapeso (em \mathrm{ft\\ lbf})?

Passo 2

Vamos calcular a área da seção transversal do cilindro (para relacionar força e pressão). A área de um círculo é \,A=\pi r^{2}. O raio é metade do diâmetro:
r=\frac{1,25}{2}=0,625\\ \mathrm{ft}.
Portanto
A=\pi (0,625)^{2}=\pi\cdot 0,390625\approx 1,227184\\ \mathrm{ft^{2}}.
Explicação rápida: precisamos dessa área porque pressão (força por unidade de área) vezes área nos dá força.

Passo 3

Convertemos a pressão atmosférica dada em polegadas de mercúrio para psi (lbf/in²) — é mais prático trabalhar em psi e depois para lbf/ft² quando multiplicarmos pela área em \mathrm{ft^{2}}.
Usamos a conversão padrão
1\\ \mathrm{inHg}\approx 0,491147\\ \mathrm{psi}.
Logo
P_{\text{atm}}=30,12\\ \mathrm{inHg}\times 0,491147\\ \frac{\mathrm{psi}}{\mathrm{inHg}}\approx 14,7909\\ \mathrm{psi}.
Para obter a pressão em \mathrm{lbf/ft^{2}} (pois a área está em \mathrm{ft^{2}}) multiplicamos por 144 (pois 1\\ \mathrm{ft^{2}}=144\\ \mathrm{in^{2}}):
P_{\text{atm}}=14,7909\\ \mathrm{psi}\times 144\\ \frac{\mathrm{in^{2}}}{\mathrm{ft^{2}}}\approx 2129,985\\ \mathrm{lbf/ft^{2}}.

Passo 4

Convertendo a massa do êmbolo+contrapeso em força peso (lbf). Em unidades inglesas usamos
W = m\frac{g}{g_{c}},
onde m é em \mathrm{lbm}, g é a aceleração local \mathrm{ft/s^{2}} e g_{c} é a constante de conversão g_{c}=32,174\\ \mathrm{lbm\\ ft/(lbf\\ s^{2})} (valor padrão). Substituindo:
W = 250\\ \mathrm{lbm}\times\frac{32,169\\ \mathrm{ft/s^{2}}}{32,174\\ \mathrm{lbm\\ ft/(lbf\\ s^{2})}} \approx 249,959\\ \mathrm{lbf}.
Explicação: essa é a força peso que atua para baixo devido à massa; a diferença entre \mathrm{lbm} e \mathrm{lbf} é tratada por essa conversão.

Passo 5

Agora calculamos a força total descendente sobre o gás: força da atmosfera (pressão atmosférica vezes área) mais o peso do êmbolo+contrapeso.
Força da atmosfera:
F_{\text{atm}} = P_{\text{atm}}\\ (\mathrm{lbf/ft^{2}})\times A =2129,985\\ \mathrm{lbf/ft^{2}}\times 1,227184\\ \mathrm{ft^{2}} \approx 2614,083\\ \mathrm{lbf}.
Força total sobre o gás:
F_{\text{total}} = F_{\text{atm}} + W \approx 2614,083\\ \mathrm{lbf} + 249,959\\ \mathrm{lbf} \approx 2864,042\\ \mathrm{lbf}.
Interpretação: essa é a força descendente que o gás precisa equilibrar (ou vencer, ao expandir) — corresponde à força exercida no gás pela atmosfera, pelo êmbolo e pelo contrapeso.

Passo 6

Pressão do gás em psia antes da elevação: pressão absoluta interna deve equilibrar a pressão externa mais a contribuição do peso por unidade de área. Podemos somar as pressões (em psi):
Pressão correspondente ao peso do êmbolo e contrapeso (em psi):
\Delta P_{W}=\frac{W}{A}\times\frac{1}{144}\\ \mathrm{psi}
mais conveniente é escrever
\Delta P_{W} = \frac{W}{A}\cdot\frac{1}{144} =\frac{249,959\\ \mathrm{lbf}}{1,227184\\ \mathrm{ft^{2}}}\cdot\frac{1}{144} \approx 1,4127\\ \mathrm{psi}.
Portanto a pressão do gás é
P_{\text{gás}}=P_{\text{atm}}+\Delta P_{W} \approx 14,7909\\ \mathrm{psi}+1,4127\\ \mathrm{psi} \approx 16,2036\\ \mathrm{psia}.á
Explicação: pressão absoluta no interior deve suportar tanto a pressão atmosférica quanto o “peso por área” do conjunto êmbolo+contrapeso.

Passo 7

Trabalho realizado pelo gás quando o êmbolo sobe \,h=1,7\\ \mathrm{ft}.
Quando o êmbolo sobe lentamente sem atrito e com força praticamente constante (a pressão externa mais peso é constante), o trabalho realizado pelo gás é
W_{\text{gás}} = F_{\text{total}}\cdot h.á
Já temos F_{\text{total}}\approx 2864,042\\ \mathrm{lbf}. Logo
W_{\text{gás}} = 2864,042\\ \mathrm{lbf}\times 1,7\\ \mathrm{ft} \approx 4868,871\\ \mathrm{ft\\ lbf}.á
Comentário físico: o gás realiza trabalho para levantar tanto contra a atmosfera quanto contra o peso do êmbolo.

Passo 8

Variação da energia potencial gravitacional do êmbolo + contrapeso ao subir h=1,7\\ \mathrm{ft}:
A variação de energia potencial é simplesmente o peso vezes a altura (lembrando que usamos o peso em lbf):
\Delta PE = W\cdot h = 249,959\\ \mathrm{lbf}\times 1,7\\ \mathrm{ft} \approx 424,883\\ \mathrm{ft\\ lbf}.
Explicação: esse é o incremento de energia armazenada gravitacionalmente no êmbolo+contrapeso. A diferença entre o trabalho do gás e \Delta PE corresponde ao trabalho realizado contra a atmosfera (ou energia transferida para o ar ambiente).

Resposta

a) \,2864,042\\ \mathrm{lbf}
b) \,16,2036\\ \mathrm{psia}
c) \,4868,871\\ \mathrm{ft\\ lbf}
\,424,883\\ \mathrm{ft\\ lbf}

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