O reservatório de uma astronave, com 57 \mathrm{dm}^{3} de capacidade, contém 45 kg de oxigênio saturado a 3,4 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Determinar as porcentagens de líquido e vapor no reservatório em massa e também em volume.

Passo 1

O enunciado dá: capacidade do reservatório 57\\ \mathrm{dm}^{3}, massa total de oxigênio no reservatório 45\\ \mathrm{kg} e pressão de equilíbrio (saturado) 3,4\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2}. Pergunta-se as porcentagens de líquido e vapor (a) em massa e (b) em volume.
Informações relevantes (dados explícitos do enunciado):
  • Volume total do reservatório V_{\text{tot}} = 57\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Massa total de oxigênio m_{\text{tot}} = 45\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão de saturação p = 3,4\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2}.

Passo 2

Primeiro metemos tudo em unidades SI e calculamos o volume específico global (isto é, volume por massa do sistema).
Conversões e cálculos:
V_{\text{tot}} = 57\\ \mathrm{dm}^{3} = 0,057\\ \mathrm{m}^{3}.
v = \frac{V_{\text{tot}}}{m_{\text{tot}}} = \frac{0,057}{45} = 0,0012667\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}.
Explicação didática: v é o volume específico médio do fluido dentro do reservatório. Se soubermos as propriedades do líquido saturado e do vapor saturado à pressão dada, podemos escrever esse v como uma média ponderada entre os volumes específicos do vapor e do líquido (ponderada pela fração de massa do vapor).

Passo 3

Definimos a qualidade (fração mássica de vapor) \,x, que é a fração da massa que está em vapor. A relação entre v, v_f (volume específico do líquido saturado) e v_g (volume específico do vapor saturado) é:
v = x\,v_g + (1-x)\,v_f.
Isolando x:
x = \frac{v - v_f}{v_g - v_f}.
Didática: essa fórmula vem da decomposição da massa em massa de vapor m_v = x m_{\text{tot}} e massa de líquido m_l = (1-x)m_{\text{tot}}. O volume total é V_{\text{tot}} = m_v v_g + m_l v_f. Dividindo por m_{\text{tot}} obtemos a expressão acima.

Passo 4

Agora precisamos de v_f e v_g à pressão de saturação p = 3,4\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2}. Primeiro convertemos a pressão para pascal:
1\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^{2} = 98\,066,5\\ \mathrm{Pa},
p = 3,4 \times 98\,066,5 = 333\,426\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 3,29\\ \text{atm}).
Observação importante e realista: os valores exatos de v_f e v_g devem vir de tabelas termodinâmicas de oxigênio saturado à pressão dada. Como o enunciado não trouxe a tabela, vou estimar valores de forma justificada para mostrar o procedimento e obter números plausíveis (no final digo como substituir por valores de tabela, se você tiver).
Estimativa justificada:
  • Densidade do oxigênio líquido perto do ponto de ebulição é cerca de \rho_f \approx 1\,140\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (valor típico). Assim
v_f = \frac{1}{\rho_f} \approx \frac{1}{1\,140} = 0,0008772\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}.
  • Para o vapor saturado, usamos aproximação pelo gás ideal com uma estimativa da temperatura de saturação. O oxigénio tem T_{\text{sat}}\approx 90\\ \mathrm{K} a 1\\ \text{atm} e T_c\approx 154{,}6\\ \mathrm{K} (crítico). Para p\approx 3{,}29\\ \text{atm} uma estimativa razoável por interpolação logarítmica dá T_{\text{sat}}\approx 109{,}6\\ \mathrm{K}. O constante específica do oxigénio é
R = \frac{8{,}314}{0{,}032} = 259{,}8125\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
Usando a equação dos gases ideais para estimar v_g (aproximação comum quando se quer um valor aproximado do vapor saturado):
v_g \approx \frac{R\,T_{\text{sat}}}{p} = \frac{259{,}8125\cdot 109{,}6}{333\,426} \approx 0,08543\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}.
Comentário didático: o vapor saturado aqui tem volume específico muito maior que o líquido; pequenas frações mássicas de vapor ocupam volumes grandes.

Passo 5

Com v, v_f e v_g estimados, calculamos a qualidade x:
x = \frac{0,0012667 - 0,0008772}{0,08543 - 0,0008772} = \frac{0,0003895}{0,0845528} \approx 0,004607.
Isto significa que a fração mássica de vapor é x\approx 0{,}004607 (ou 0{,}4607\% em massa). A fração mássica de líquido é 1-x \approx 0{,}995393 (ou 99{,}5393\% em massa).
Calculamos massas e volumes parciais para verificar e obter as porcentagens em volume:
  • Massa de vapor:
m_v = x\,m_{\text{tot}} = 0,004607 \times 45 = 0,2073\\ \mathrm{kg}.
  • Massa de líquido:
m_l = (1-x)\,m_{\text{tot}} = 44,7927\\ \mathrm{kg}.
  • Volume ocupado pelo vapor:
V_v = m_v\,v_g = 0,2073\times 0,08543 = 0,01772\\ \mathrm{m}^3 = 17{,}72\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Volume ocupado pelo líquido:
V_l = m_l\,v_f = 44,7927\times 0,0008772 = 0,03928\\ \mathrm{m}^3 = 39{,}28\\ \mathrm{dm}^{3}.
Verificação: V_v+V_l = 0,01772+0,03928 = 0,0570\\ \mathrm{m}^3, que é o volume total 0,057\\ \mathrm{m}^3 — consistente.
Agora as porcentagens em volume:
\%\\ \text{vapor (volume)} = \frac{V_v}{V_{\text{tot}}}\times 100 = \frac{0,01772}{0,057}\times 100 \approx 31{,}09\%.
\%\\ \text{líquido (volume)} = \frac{V_l}{V_{\text{tot}}}\times 100 \approx 68{,}91\%.í

Passo 6

Interpretação e dica prática para a prova: o procedimento chave é sempre esse — calcular o volume específico global v, obter v_f e v_g da tabela saturada na pressão dada e usar x=(v-v_f)/(v_g-v_f). Em provas, normalmente você terá tabelas; com elas o cálculo é numérico direto e os resultados serão mais precisos. Aqui usei aproximações razoáveis (densidade típica do líquido e aproximação ideal do vapor) para obter números ilustrativos.

Resposta

Líquido: 99{,}5393\% em massa.
Vapor: 0{,}4607\% em massa.
Líquido: 68{,}91\% em volume.
Vapor: 31{,}09\% em volume.

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