Um gás está contido em uma montagem vertical pistão-cilindro por um pistão pesando
e uma superfície superior com área de
. A atmosfera exerce uma pressão de
sobre a superfície superior do pistão. Um resistor elétrico transfere energia para o gás num total de 3 Btu. A energia interna do gás aumenta em 1 Btu, que é a única variação significativa da energia interna de todos os componentes presentes. O pistão e o cilindro são maus condutores térmicos e o atrito pode ser desprezado. Determine a variação na elevação do pistão, em
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Peso do pistão:
. - Área da superfície superior do pistão:
. - Pressão atmosférica sobre o pistão:
. - Energia elétrica transferida para o gás (resistor):
. - Aumento da energia interna do gás:
. (É a única variação significativa da energia interna de todos os componentes.) - Pistão e cilindro são maus condutores (ou seja, sem perda de calor para o entorno) e atrito desprezível.
O que se pede: determinar a variação na elevação do pistão, em
.
Passo 2
Aplicando a primeira lei da termodinâmica para o gás (forma simples de conservação de energia):
onde:
-
é a variação da energia interna do gás (positiva se aumenta), -
é a energia transferida para o gás por calor (aqui o resistor entrega energia elétrica convertida em calor), -
é o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente (positivo se o gás realiza trabalho de expansão).
Substituindo os valores dados (tudo em unidades de energia Btu por enquanto):
logo
Então o gás realiza
de trabalho na expansão.
Passo 3
Relacionando o trabalho mecânico com a variação de volume do pistão:
Para um pistão sem atrito que se move quasi-estáticamente, o trabalho realizado pelo gás é
onde
é a pressão externa sobre o gás (a pressão que o gás vence) e
é a variação de volume. Aqui a pressão externa é a soma da pressão atmosférica mais a pressão devido ao peso do pistão:
Calcule
em
:
Converter pressão para
(pois usaremos
para trabalho):
, então multiplica-se por
:
Passo 4
Converter o trabalho
de
para
:
portanto
Passo 5
Calcular a variação de volume
e a elevação
:
Da relação
temos
A variação de volume está relacionada com a área do pistão
e a elevação
por
Converter a área para
:
Assim,
. Então
Arredondando de forma razoável para três casas significativas:
Passo 6
Checagem rápida: o trabalho positivo de
foi gasto vencendo a pressão combinada da atmosfera e do pistão pesado; a área pequena (8 in^2) implica um deslocamento de ordem de poucos pés — o resultado obtido, cerca de
, faz sentido dimensional e numérico.