Um gás está contido em uma montagem vertical pistão-cilindro por um pistão pesando 675 l b f e uma superfície superior com área de 8 i n^{2}. A atmosfera exerce uma pressão de 14,7 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2} sobre a superfície superior do pistão. Um resistor elétrico transfere energia para o gás num total de 3 Btu. A energia interna do gás aumenta em 1 Btu, que é a única variação significativa da energia interna de todos os componentes presentes. O pistão e o cilindro são maus condutores térmicos e o atrito pode ser desprezado. Determine a variação na elevação do pistão, em f t.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Peso do pistão: 675\\ \text{lbf}.
  • Área da superfície superior do pistão: 8\\ \text{in}^{2}.
  • Pressão atmosférica sobre o pistão: 14,7\\ \text{lbf}/\text{in}^{2}.
  • Energia elétrica transferida para o gás (resistor): 3\\ \text{Btu}.
  • Aumento da energia interna do gás: 1\\ \text{Btu}. (É a única variação significativa da energia interna de todos os componentes.)
  • Pistão e cilindro são maus condutores (ou seja, sem perda de calor para o entorno) e atrito desprezível.
O que se pede: determinar a variação na elevação do pistão, em \text{ft}.

Passo 2

Aplicando a primeira lei da termodinâmica para o gás (forma simples de conservação de energia):
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do gás (positiva se aumenta),
  • Q é a energia transferida para o gás por calor (aqui o resistor entrega energia elétrica convertida em calor),
  • W é o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente (positivo se o gás realiza trabalho de expansão).
Substituindo os valores dados (tudo em unidades de energia Btu por enquanto):
\Delta U = 1\\ \text{Btu},\qquad Q = 3\\ \text{Btu},
logo
W = Q - \Delta U = 3\\ \text{Btu} - 1\\ \text{Btu} = 2\\ \text{Btu}.
Então o gás realiza 2\\ \text{Btu} de trabalho na expansão.

Passo 3

Relacionando o trabalho mecânico com a variação de volume do pistão:
Para um pistão sem atrito que se move quasi-estáticamente, o trabalho realizado pelo gás é
W = p_{\text{ext}}\,\Delta V,
onde p_{\text{ext}} é a pressão externa sobre o gás (a pressão que o gás vence) e \Delta V é a variação de volume. Aqui a pressão externa é a soma da pressão atmosférica mais a pressão devido ao peso do pistão:
p_{\text{ext}} = p_{\text{atm}} + \frac{\text{peso do pistão}}{\text{área}}.ãá
Calcule p_{\text{ext}} em \text{lbf}/\text{in}^2:
p_{\text{ext}} = 14{,}7 + \frac{675}{8} = 14{,}7 + 84{,}375 = 99{,}075\\ \text{lbf}/\text{in}^2.
Converter pressão para \text{lbf}/\text{ft}^2 (pois usaremos \text{ft}\cdot\text{lbf} para trabalho): 1\\ \text{in}^2 = \tfrac{1}{144}\\ \text{ft}^2, então multiplica-se por 144:
p_{\text{ext}} = 99{,}075 \times 144 = 14\,266{,}8\\ \text{lbf}/\text{ft}^2.

Passo 4

Converter o trabalho W de \text{Btu} para \text{ft}\cdot\text{lbf}:
1\\ \text{Btu} = 778{,}169\\ \text{ft}\cdot\text{lbf},
portanto
W = 2\\ \text{Btu} = 2 \times 778{,}169 = 1\,556{,}338\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}.

Passo 5

Calcular a variação de volume \Delta V e a elevação \Delta h:
Da relação W = p_{\text{ext}}\,\Delta V temos
\Delta V = \frac{W}{p_{\text{ext}}} = \frac{1\,556{,}338}{14\,266{,}8}\\ \text{ft}^3 \approx 0{,}109089\\ \text{ft}^3.
A variação de volume está relacionada com a área do pistão A e a elevação \Delta h por
\Delta V = A\,\Delta h.
Converter a área para \text{ft}^2: A = 8\\ \text{in}^2 = \dfrac{8}{144}\\ \text{ft}^2 = 0{,}055555\ldots\\ \text{ft}^2 = \dfrac{1}{18}\\ \text{ft}^2.
Assim, \Delta h = \dfrac{\Delta V}{A} = 18\,\Delta V. Então
\Delta h = 18 \times 0{,}109089\\ \text{ft} \approx 1{,}9636\\ \text{ft}.
Arredondando de forma razoável para três casas significativas:
\Delta h \approx 1{,}964\\ \text{ft}.

Passo 6

Checagem rápida: o trabalho positivo de 2\\ \text{Btu} foi gasto vencendo a pressão combinada da atmosfera e do pistão pesado; a área pequena (8 in^2) implica um deslocamento de ordem de poucos pés — o resultado obtido, cerca de 2\\ \text{ft}, faz sentido dimensional e numérico.

Resposta

1{,}964\\ \text{ft}

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