O volume de uma solução contendo etanol (EtOH) e água ( \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} ) a 25^{\circ} \mathrm{C} é dado pela seguinte equação empírica:
\mathrm{V}(\mathrm{~mol})=1000+35 \mathrm{xEtOH}+0.005 \mathrm{x}_{\mathrm{EtOH}^{2}}
onde V é o volume total da solução \mathrm{em}_{\mathrm{cm}^{3}} e xEtOH é o número de moles de etanol. Se a solução contém 2 moles de etanol e 8 moles de água, determine o volume parcial molar do etanol ( \mathrm{V}^{-}{ }_{\text {EtOH }} ) e da água ( \mathrm{V}^{-}{ }^{-} \mathrm{H} 2 \mathrm{O} ) nessa composição. O volume total da solução é de 1072 \mathrm{~cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o volume total da solução em função do número de moles de etanol x_{\mathrm{EtOH}} a 25^\circ\mathrm C:
V = 1000 + 35\,x_{\mathrm{EtOH}} + 0{,}005\,x_{\mathrm{EtOH}}^{2}
Temos x_{\mathrm{EtOH}}=2 mol e n_{\mathrm{H_2O}}=8 mol, com V_{\text{exp}}=1072,cm ^3. Queremos os volumes parciais molares \bar V_{\mathrm{EtOH}} e \bar V_{\mathrm{H_2O}}. Usaremos
\bar V_i = \Bigl(\frac{\partial V}{\partial n_i}\Bigr)_{T,p,n_{j\neq i}}
e a relação de Euler para misturas ideais de componentes líquidos
V = n_{\mathrm{EtOH}}\,\bar V_{\mathrm{EtOH}} + n_{\mathrm{H_2O}}\,\bar V_{\mathrm{H_2O}}.

Passo 2

Calculamos o volume parcial molar do etanol tomando a derivada de V em relação a x_{\mathrm{EtOH}}, mantendo n_{\mathrm{H_2O}} constante:
\bar V_{\mathrm{EtOH}} = \frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{EtOH}}}\bigl(1000 + 35\,x_{\mathrm{EtOH}} + 0{,}005\,x_{\mathrm{EtOH}}^{2}\bigr) = 35 + 2\cdot0{,}005\,x_{\mathrm{EtOH}} = 35 + 0{,}01\,x_{\mathrm{EtOH}}.
Em x_{\mathrm{EtOH}}=2 mol:
\bar V_{\mathrm{EtOH}} = 35 + 0{,}01\times2 = 35{,}02\\ \mathrm{cm^{3}/mol}.

Passo 3

Usamos a relação de Euler para obter \bar V_{\mathrm{H_2O}}:
\bar V_{\mathrm{H_2O}} = \frac{V - n_{\mathrm{EtOH}}\,\bar V_{\mathrm{EtOH}}}{n_{\mathrm{H_2O}}} = \frac{1072 - 2\times35{,}02}{8} = \frac{1072 - 70{,}04}{8} = \frac{1001{,}96}{8} = 125{,}245\\ \mathrm{cm^{3}/mol}.

Resposta

\bar V_{\mathrm{EtOH}} = 35{,}02\\ \mathrm{cm^{3}/mol}. \bar V_{\mathrm{H_2O}} = 125{,}25\\ \mathrm{cm^{3}/mol}.

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