Um gás ideal com capacidades caloríficas constantes passa por uma mudança de estado das condições T_{1}, P_{1} para as condições T_{2}, P_{2}. Determine \Delta H\left(\mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}\right) e \Delta S\left(\mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\right) para cada um dos seguintes casos:
T_{1}=300 \mathrm{~K}, P_{1}=1,2 \mathrm{bar}, T_{2}=500 \mathrm{~K}, P_{2}=6 \mathrm{bar}, C_{P} / R=7 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a variação de entalpia e a variação de entropia por mol do gás ideal ao ir do estado (T_{1},P_{1}) para (T_{2},P_{2}). Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
T_{1}=300\\ \mathrm{K},\quad P_{1}=1{,}2\\ \mathrm{bar},
T_{2}=500\\ \mathrm{K},\quad P_{2}=6\\ \mathrm{bar},
\frac{C_{P}}{R}=\frac{7}{2}.
Vou usar a constante dos gases R no valor usual \;R=8{,}3145\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}. O que se pede:
  • \Delta H em \mathrm{J\;mol^{-1}},
  • \Delta S em \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 2

Fórmula e ideia para \Delta H. Para um gás ideal com capacidades caloríficas constantes a pressão, a entalpia molar H depende só da temperatura. A definição diferencial é
dH=C_{P}\,dT,
portanto, integrando entre T_{1} e T_{2} (e sendo C_{P} constante) obtemos a expressão prática que usaremos na prova:
\Delta H = \int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{P}\,dT = C_{P}\,(T_{2}-T_{1}).
Aqui C_{P} é a capacidade calorífica molar a pressão constante (unidade \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}), T_{1} e T_{2} são temperaturas em kelvin. Isso significa que, para gás ideal com C_P constante, basta saber a diferença de temperatura e multiplicar por C_P.

Passo 3

Calcular numericamente \Delta H. Primeiro calculo C_{P} a partir de \dfrac{C_{P}}{R}=\dfrac{7}{2}:
C_{P}=\frac{7}{2}R = \frac{7}{2}\cdot 8{,}3145\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}} = 29{,}10075\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Agora aplico \Delta H = C_{P}(T_{2}-T_{1}). Como T_{2}-T_{1}=500-300=200\\ \mathrm{K},
\Delta H = 29{,}10075\cdot 200\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} = 5\,820{,}15\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
(Em prova você pode arredondar conforme o número de algarismos significativos pedidos.)

Passo 4

Fórmula e ideia para \Delta S. Para um gás ideal, uma forma conveniente de obter a variação de entropia entre dois estados com temperaturas e pressões diferentes é usar a relação derivada das equações termodinâmicas:
dS=\frac{dH}{T}-\frac{V\,dP}{T}.
Para gás ideal temos dH=C_{P}\,dT e a equação de estado V=\dfrac{RT}{P}. Substituindo,
dS=\frac{C_{P}\,dT}{T}-\frac{RT}{P}\cdot\frac{dP}{T} = \frac{C_{P}}{T}\,dT - R\frac{dP}{P}.
Integrando entre os estados (T_{1},P_{1}) e (T_{2},P_{2}), com C_{P} constante:
\Delta S = \int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{C_{P}}{T}\,dT - R\int_{P_{1}}^{P_{2}}\frac{dP}{P} = C_{P}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right).
Essa é a fórmula padrão para a variação de entropia de um gás ideal entre dois estados especificados por T e P. Aqui C_{P} é como antes e R a constante dos gases.

Passo 5

Aplicar a fórmula de \Delta S ao caso numérico. Substituindo C_{P}=\dfrac{7}{2}R obtemos uma expressão fatorada em R:
\Delta S = \frac{7}{2}R\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right) = R\!\left[\frac{7}{2}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) - \ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)\right].
Calcule as razões: \dfrac{T_{2}}{T_{1}}=\dfrac{500}{300}=\dfrac{5}{3} e \dfrac{P_{2}}{P_{1}}=\dfrac{6}{1{,}2}=5. Então
\Delta S = R\!\left[\frac{7}{2}\ln\!\left(\frac{5}{3}\right) - \ln 5\right].
Agora os valores numéricos: \ln\!\left(\dfrac{5}{3}\right)\approx 0{,}5108256 e \ln 5 \approx 1{,}6094379. Então
\frac{7}{2}\ln\!\left(\frac{5}{3}\right) \approx 3{,}5\times 0{,}5108256 = 1{,}7878896,
1{,}7878896 - 1{,}6094379 = 0{,}1784517.
Multiplicando por R=8{,}3145\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}},
\Delta S \approx 8{,}3145\times 0{,}1784517 = 1{,}4847\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Arredondando razoavelmente (por exemplo 3 algarismos significativos) dá \Delta S \approx 1{,}48\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Resposta

\Delta H = 5{,}82\times 10^{3}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}
\Delta S = 1{,}48\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}

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