Um gás ideal, com
e
, é levado de
bar e
para
bar e
por intermédio dos seguintes processos mecanicamente reversíveis:
(c) Compressão adiabática, seguida por resfriamento a volume constante.
Calcule
e
em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama
.
(c) Compressão adiabática, seguida por resfriamento a volume constante.
Passo 1
- Dados fornecidos:
-
(capacidade molar a pressão constante) -
(capacidade molar a volume constante) -
-
- Estado final desejado:
e
-
- Processo (c) descrito: primeiro uma compressão adiabática mecanicamente reversível de 1 para um estado intermediário (vou chamar de estado 2) seguida por um resfriamento a volume constante até o estado final 3, que tem
e . - O que se pede: calcular, para cada subprocesso, os valores de
, , e . Também esboçar as trajetórias no diagrama .
Passo 2
- Primeiro, deixemos explícita a convenção de sinais que vou usar (muito importante numa prova):
será o trabalho realizado pelo sistema (convenção usual em termodinâmica). A primeira lei escrita assim é (se preferes a outra convenção, basta trocar o sinal de ). - Para um gás ideal:
- A energia interna molar depende só da temperatura, então para um processo entre estados 1 e 2 vale
- A entalpia muda com temperatura:
- A energia interna molar depende só da temperatura, então para um processo entre estados 1 e 2 vale
- Podemos escrever
a partir da equação de estado ideal . Substituindo nas expressões acima obtemos (note que desaparece da igualdade final):
Estas fórmulas são muito úteis porque evitam precisar do número de mols
.
- Também vamos precisar da relação para um adiabat reversível de gás ideal:
Aqui .
Passo 3
- Interpretação do enunciado: a sequência é “compressão adiabática, seguida por resfriamento a volume constante” e o estado final tem
. Então a compressão adiabática leva o volume de para . Depois, a segunda etapa mantém e ajusta a pressão até . - Usando
(onde é a pressão logo após a compressão adiabática, no mesmo volume ): - Calculemos
. Numericamente . Portanto - Resumo dos estados (vou chamar 1 → estado inicial, 2 → logo após adiabática, 3 → final):
- Estado 1:
. - Estado 2 (após adiabática):
. - Estado 3 (após resfriamento isocórico):
.
- Estado 1:
- Observação útil:
e . Ou seja, , logo (mesma temperatura inicial e final).
Passo 4
- Para a adiabática reversível
por definição. - Calculemos
:
- Agora
. Como : (energia interna aumenta porque a compressão adiabatica aquece o gás) - Pela primeira lei (com
trabalho pelo sistema): Interpretação: negativo significa que o sistema realizou trabalho negativo, ou seja, trabalho líquido foi feito sobre o sistema (trabalho sobre o gás) com magnitude . - Entalpia:
Passo 5
- Em um processo a volume constante o trabalho de pressão é zero:
- A mudança em
é . - Assim
(energia interna diminui exatamente o que aumentou na adiabática) - Pelo balanço
com , obtemos o calor trocado: Ou seja, calor removido do gás (valor negativo). - Entalpia:
Passo 6
- Soma das variações internas:
coerente com e logo . - Soma dos calores:
- Soma dos trabalhos:
- Soma das entalpias:
- Observação física: o processo total 1→3 teve
, logo . Aqui ambos são negativos numericamente, significando que energia foi removida do sistema e que, no final, trabalho líquido foi feito sobre o sistema (ou o sistema realizou trabalho negativo).
Passo 7
- Pontos importantes no diagrama
: - Estado 1:
. - Estado 2 (após adiabática):
. - Estado 3:
.
- Estado 1:
- Trajetória 1→2: curva adiabatica
constante; é uma curva que cai mais rapidamente que uma isoterma ao aumentar (ou sobe mais rapidamente ao diminuir ). No gráfico, é uma curva que vai de (12,1) até (1,62{,}9) — compressão para a esquerda e para cima. - Trajetória 2→3: linha vertical em
que desce de até (resfriamento isocórico). - Dica para desenhar na prova: faça eixos
horizontal e vertical, marque os três pontos com bolinhas e desenhe a curva íngreme para 1→2 e a linha vertical para 2→3. Rotule as pressões em : 1, 12 e ≈62,9.
Resposta
Adiabática (1→2):
,
,
,
Isocórico (2→3):
,
,
,
Total (1→3):
,
,
,