Um gás ideal é comprimido isotermicamente em um cilindro com êmbolo móvel. No início do processo, o gás ocupa um volume de V_{1}=4,0 L, sob pressão P_{1}=1,0 \mathrm{~atm}.
Após a compressão, o volume do gás é reduzido para V_{2}=1,0 \mathrm{~L}. Calcule a pressão final P_{2}.
  1. Calcule a pressão final P_{2}.
  2. Determine o trabalho realizado pelo gás durante o processo isotérmico.
  3. Calcule a variação da energia interna \Delta \mathrm{U}.
    (Considere comportamento de gás ideal. Use a convenção W>0 quando realizado pelo gás.)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas:
Dados:
V_{1}=4{,}0\\ \mathrm{L}
P_{1}=1{,}0\\ \mathrm{atm}
V_{2}=1{,}0\\ \mathrm{L}
Perguntas:
  1. Calcular a pressão final P_{2}.
  2. Determinar o trabalho realizado pelo gás durante o processo isotérmico.
  3. Calcular a variação da energia interna \Delta U.
Observação: o processo é isotérmico (a temperatura do gás permanece constante) e o gás se comporta como gás ideal. A convenção pedida é W>0 quando o trabalho é realizado pelo gás.

Passo 2

Encontrar P_{2} usando a relação que vale para gás ideal em processo isotérmico (temperatura constante): quando T é constante, o produto P V também é constante durante o processo (porque P V = n R T e nR T é constante). Assim vale
P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}.
Aqui cada símbolo significa:
P_{1}\text{: pressão inicial, }V_{1}\text{: volume inicial,}ã
P_{2}\text{: pressão final, }V_{2}\text{: volume final.}ã
Isolando P_{2} obtemos
P_{2}=\frac{P_{1}V_{1}}{V_{2}}.

Passo 3

Agora substituímos os números:
P_{2}=\frac{1{,}0\\ \mathrm{atm}\times 4{,}0\\ \mathrm{L}}{1{,}0\\ \mathrm{L}}=4{,}0\\ \mathrm{atm}.
Portanto a pressão final é \,4{,}0\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Para o trabalho em um processo isotérmico reversível (quase-estático) usamos a definição do trabalho mecânico do gás:
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV.
Como o processo é isotérmico para gás ideal, P=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo isso no integral:
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{dV}{V} = nRT\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Explicando as variáveis nesta fórmula:
n\text{: número de mols do gás, }R\text{: constante universal dos gases, }T\text{: temperatura absoluta (K).}úá
Repare que o logaritmo é natural (ln). A convenção usada aqui é W>0 quando o gás realiza trabalho. Se o volume diminui ( V_{2}<V_{1}), então \ln(V_{2}/V_{1})<0 e o trabalho W será negativo (significa que o trabalho é realizado sobre o gás, não pelo gás).

Passo 5

Para evitar ter que conhecer n e T separadamente podemos usar nRT=P_{1}V_{1} (valendo para o estado inicial). Assim
W = P_{1}V_{1}\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Todos os termos à direita já são conhecidos.

Passo 6

Calculemos numericamente W primeiro em unidades de \mathrm{L\cdot atm}:
W = 1{,}0\\ \mathrm{atm}\times 4{,}0\\ \mathrm{L}\times \ln\!\left(\frac{1{,}0\\ \mathrm{L}}{4{,}0\\ \mathrm{L}}\right) =4{,}0\\ \mathrm{L\cdot atm}\times \ln(0{,}25).
O valor do logaritmo natural é \ln(0{,}25)\approx -1{,}386294361. Logo
W \approx 4{,}0\times(-1{,}386294361)\\ \mathrm{L\cdot atm}\approx -5{,}545\\ \mathrm{L\cdot atm}.

Passo 7

Normalmente queremos o trabalho em joules. Usamos a conversão
1\\ \mathrm{L\cdot atm}=101{,}325\\ \mathrm{J}.
Convertendo:
W\approx -5{,}545\\ \mathrm{L\cdot atm}\times 101{,}325\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{L\cdot atm}} \approx -561{,}8\\ \mathrm{J}.
Arredondando com 3 algarismos significativos podemos escrever W\approx -5{,}55\\ \mathrm{L\cdot atm} ou W\approx -5,62\times 10^{2}\\ \mathrm{J} (aqui o sinal negativo indica que o trabalho é feito sobre o gás; pela convenção pedida, o trabalho realizado pelo gás é negativo).

Passo 8

Variação da energia interna para gás ideal em função de temperatura: para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. A expressão geral é
\Delta U = n c_{V}\Delta T,
onde c_{V} é a capacidade calorífica molar a volume constante e \Delta T é a variação de temperatura. Em um processo isotérmico temos \Delta T=0. Portanto
\Delta U=0.
Podemos verificar pela primeira lei da termodinâmica:
\Delta U = Q - W.
Como \Delta U=0 segue Q=W. Como aqui W é negativo, Q também é negativo: calor saiu do gás durante a compressão (o gás cede calor ao reservatório), o que faz sentido físico para uma compressão isotérmica.

Resposta

P_{2}=4{,}0\\ \mathrm{atm}\n
W=-5{,}55\\ \mathrm{L\cdot atm}\approx -5,62\times 10^{2}\\ \mathrm{J}\n
\Delta U=0

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