Um gás ideal é comprimido isotermicamente em um cilindro com êmbolo móvel. No início do processo, o gás ocupa um volume de
, sob pressão
.
Após a compressão, o volume do gás é reduzido para
. Calcule a pressão final
.
- Calcule a pressão final
.
- Determine o trabalho realizado pelo gás durante o processo isotérmico.
- Calcule a variação da energia interna
.
(Considere comportamento de gás ideal. Use a convenção
quando realizado pelo gás.)
Após a compressão, o volume do gás é reduzido para
(Considere comportamento de gás ideal. Use a convenção
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas:
Dados:
Perguntas:
- Calcular a pressão final
. - Determinar o trabalho realizado pelo gás durante o processo isotérmico.
- Calcular a variação da energia interna
.
Observação: o processo é isotérmico (a temperatura do gás permanece constante) e o gás se comporta como gás ideal. A convenção pedida é
quando o trabalho é realizado pelo gás.
Passo 2
Encontrar
usando a relação que vale para gás ideal em processo isotérmico (temperatura constante): quando
é constante, o produto
também é constante durante o processo (porque
e
é constante). Assim vale
Aqui cada símbolo significa:
Isolando
obtemos
Passo 3
Agora substituímos os números:
Portanto a pressão final é
.
Passo 4
Para o trabalho em um processo isotérmico reversível (quase-estático) usamos a definição do trabalho mecânico do gás:
Como o processo é isotérmico para gás ideal,
. Substituindo isso no integral:
Explicando as variáveis nesta fórmula:
Repare que o logaritmo é natural (ln). A convenção usada aqui é
quando o gás realiza trabalho. Se o volume diminui (
), então
e o trabalho
será negativo (significa que o trabalho é realizado sobre o gás, não pelo gás).
Passo 5
Para evitar ter que conhecer
e
separadamente podemos usar
(valendo para o estado inicial). Assim
Todos os termos à direita já são conhecidos.
Passo 6
Calculemos numericamente
primeiro em unidades de
:
O valor do logaritmo natural é
. Logo
Passo 7
Normalmente queremos o trabalho em joules. Usamos a conversão
Convertendo:
Arredondando com 3 algarismos significativos podemos escrever
ou
(aqui o sinal negativo indica que o trabalho é feito sobre o gás; pela convenção pedida, o trabalho realizado pelo gás é negativo).
Passo 8
Variação da energia interna para gás ideal em função de temperatura: para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. A expressão geral é
onde
é a capacidade calorífica molar a volume constante e
é a variação de temperatura. Em um processo isotérmico temos
. Portanto
Podemos verificar pela primeira lei da termodinâmica:
Como
segue
. Como aqui
é negativo,
também é negativo: calor saiu do gás durante a compressão (o gás cede calor ao reservatório), o que faz sentido físico para uma compressão isotérmica.