Um gás ideal, com C_{p}=\frac{5}{2} R e C_{v}=\frac{3}{2} R, é levado de P_{1}=1 bar e V_{1}=12 \mathrm{~m}^{3} para P_{2}=12 bar e V_{2}=1 \mathrm{~m}^{3} por intermédio dos seguintes processos reversíveis:
compressão isotérmica.
Calcule Q, W, \Delta U e \Delta H em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama P V.

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal com C_{p}=\tfrac{5}{2}R e C_{v}=\tfrac{3}{2}R. Os estados inicial e final são:
  • P_{1}=1\\ \text{bar}, V_{1}=12\\ \text{m}^{3}.
  • P_{2}=12\\ \text{bar}, V_{2}=1\\ \text{m}^{3}.
O que o problema pede:
  • Calcular Q, W, \Delta U e \Delta H para o processo reversível de compressão isotérmica que leva o sistema de (P_{1},V_{1}) para (P_{2},V_{2}).
  • Esboçar (descrever) a trajetória no diagrama P V juntando todas as trajetórias (aqui só há a isoterma que liga os dois pontos).
Informações relevantes fornecidas:
  • As capacidades molares C_{p} e C_{v} (podem ser úteis para processos com \Delta T, mas aqui o processo é isotérmico).
  • Os pares (P_{1},V_{1}) e (P_{2},V_{2}).
  • O processo é declarado isotérmico e reversível.

Passo 2

Verificação rápida da consistência isotérmica usando a lei dos gases ideais: para um processo isotérmico de gás ideal vale P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}. Vamos checar com os dados dados (aqui peguei os números do enunciado):
P_{1}V_{1}=(1\\ \text{bar})\cdot(12\\ \text{m}^{3})=12\\ \text{bar}\cdot\text{m}^{3},
P_{2}V_{2}=(12\\ \text{bar})\cdot(1\\ \text{m}^{3})=12\\ \text{bar}\cdot\text{m}^{3}.
Como P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}, os pontos estão sobre a mesma isoterma: os dados são consistentes com compressão isotérmica.

Passo 3

Relembrando princípios úteis (explicando passo a passo):
  • Primeira lei da termodinâmica, na convenção usual (trabalharemos com W trabalho efetuado pelo sistema): \Delta U = Q - W. Aqui Q é o calor recebido pelo sistema e W é o trabalho feito pelo sistema (positivo para expansão, negativo para compressão).
  • Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Assim
\Delta U = n C_{v}\Delta T, \qquad \Delta H = n C_{p}\Delta T.
Se o processo é isotérmico, \Delta T=0. Logo, para isoterma:
\Delta U = 0,\qquad \Delta H = 0.
Isto já resolve \Delta U e \Delta H sem precisar do número de mols n.

Passo 4

Fórmula do trabalho reversível em processo isotérmico:
  • Para um processo reversível de um gás ideal, P=\dfrac{nRT}{V} ao longo da curva. O trabalho realizado pelo sistema entre V_{1} e V_{2} é
W_{\text{rev}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV=\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{nRT}{V}\,dV = nRT\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
  • Note que nRT=P_{1}V_{1} (peguei P_{1}V_{1} da condição inicial usando a lei dos gases ideais), então podemos escrever
W_{\text{rev}} = P_{1}V_{1}\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Isto é conveniente pois não precisamos conhecer n nem T separadamente.

Passo 5

Cálculo numérico do trabalho (atenção às unidades):
  • Converter pressão para pascal: 1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \text{Pa}. Então
P_{1}V_{1}=(1\times10^{5}\\ \text{Pa})\cdot(12\\ \text{m}^{3})=1{,}2\times10^{6}\\ \text{J}.
  • Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{12}\right)=-\ln(12)\approx -2{,}48490665.
  • Logo o trabalho (feito pelo sistema) é
W_{\text{rev}} = 1{,}2\times10^{6}\cdot(-2{,}48490665)\approx -2{,}98\times10^{6}\\ \text{J}.
Em unidades mais usuais:
W_{\text{rev}}\approx -2{,}98\times10^{6}\\ \text{J} = -2{,}98\times10^{3}\\ \text{kJ}.
Interpretação do sinal: W_{\text{rev}}<0 porque o volume diminuiu (compressão). Isso significa que, seguindo a convenção usada, o sistema realizou trabalho negativo (ou seja, trabalho foi realizado sobre o sistema). Se alguém preferir relatar o trabalho “realizado sobre o sistema”, o valor em módulo é 2{,}98\times10^{6}\\ \text{J} e seria positivo nessa outra convenção.

Passo 6

Calcular Q, usando a primeira lei e \Delta U=0:
\Delta U = 0 = Q - W_{\text{rev}} \quad\Longrightarrow\quad Q = W_{\text{rev}}.
Portanto o calor trocado é igual ao trabalho (com a mesma convenção). Logo
Q \approx -2{,}98\times10^{6}\\ \text{J} = -2{,}98\times10^{3}\\ \text{kJ}.
Interpretação física: Q<0 indica que calor foi retirado do gás durante a compressão isotérmica (o gás perde calor para manter a temperatura constante enquanto se comprime).

Passo 7

Resumo numérico final (valores obtidos; repito para ficar claro e pronto para checar na prova):
  • W \approx -2{,}98\times10^{6}\\ \text{J} (trabalho realizado pelo sistema; negativo porque é compressão).
  • Q \approx -2{,}98\times10^{6}\\ \text{J}.
  • \Delta U = 0.
  • \Delta H = 0.

Passo 8

Esboço da trajetória no diagrama P V (descrição para desenhar):
  • Traçar os eixos: abscissa V (m³), ordenada P (bar ou Pa).
  • Marcar o ponto inicial A=(V_{1}=12\\ \text{m}^3,\;P_{1}=1\\ \text{bar}) (à direita, baixa pressão) e o ponto final B=(V_{2}=1\\ \text{m}^3,\;P_{2}=12\\ \text{bar}) (à esquerda, alta pressão).
  • Traçar a isoterma entre os pontos: é uma curva hiperbólica do tipo PV= constante (a constante vale 12\\ \text{bar}\cdot\text{m}^{3}). A curva desce suavemente da esquerda para a direita; o sentido do processo é de A para B (seta apontando para a esquerda/para cima, indicando compressão).
  • Como há apenas esse processo, só uma curva é necessária; se fosse compará-la com outras trajetórias, manter a isoterma hiperbólica que passa por A e B.

Resposta

Q = -2{,}98\times10^{6}\\ \text{J} \;=\; -2{,}98\times10^{3}\\ \text{kJ}
W = -2{,}98\times10^{6}\\ \text{J} \;=\; -2{,}98\times10^{3}\\ \text{kJ}
\Delta U = 0
\Delta H = 0

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