Um gás ideal, com
e
, é levado de
bar e
para
bar e
por intermédio dos seguintes processos reversíveis:
compressão isotérmica.
Calcule
e
em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama
.
compressão isotérmica.
Calcule
Passo 1
O enunciado dá um gás ideal com
e
. Os estados inicial e final são:
-
, . -
, .
O que o problema pede:
- Calcular
, , e para o processo reversível de compressão isotérmica que leva o sistema de para . - Esboçar (descrever) a trajetória no diagrama
– juntando todas as trajetórias (aqui só há a isoterma que liga os dois pontos).
Informações relevantes fornecidas:
- As capacidades molares
e (podem ser úteis para processos com , mas aqui o processo é isotérmico). - Os pares
e . - O processo é declarado isotérmico e reversível.
Passo 2
Verificação rápida da consistência isotérmica usando a lei dos gases ideais: para um processo isotérmico de gás ideal vale
. Vamos checar com os dados dados (aqui peguei os números do enunciado):
Como
, os pontos estão sobre a mesma isoterma: os dados são consistentes com compressão isotérmica.
Passo 3
Relembrando princípios úteis (explicando passo a passo):
- Primeira lei da termodinâmica, na convenção usual (trabalharemos com
trabalho efetuado pelo sistema): . Aqui é o calor recebido pelo sistema e é o trabalho feito pelo sistema (positivo para expansão, negativo para compressão). - Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Assim
Se o processo é isotérmico,
. Logo, para isoterma:
Isto já resolve
e
sem precisar do número de mols
.
Passo 4
Fórmula do trabalho reversível em processo isotérmico:
- Para um processo reversível de um gás ideal,
ao longo da curva. O trabalho realizado pelo sistema entre e é
- Note que
(peguei da condição inicial usando a lei dos gases ideais), então podemos escrever
Isto é conveniente pois não precisamos conhecer
nem
separadamente.
Passo 5
Cálculo numérico do trabalho (atenção às unidades):
- Converter pressão para pascal:
. Então
- Calcular o logaritmo:
- Logo o trabalho (feito pelo sistema) é
Em unidades mais usuais:
Interpretação do sinal:
porque o volume diminuiu (compressão). Isso significa que, seguindo a convenção usada, o sistema realizou trabalho negativo (ou seja, trabalho foi realizado sobre o sistema). Se alguém preferir relatar o trabalho “realizado sobre o sistema”, o valor em módulo é
e seria positivo nessa outra convenção.
Passo 6
Calcular
, usando a primeira lei e
:
Portanto o calor trocado é igual ao trabalho (com a mesma convenção). Logo
Interpretação física:
indica que calor foi retirado do gás durante a compressão isotérmica (o gás perde calor para manter a temperatura constante enquanto se comprime).
Passo 7
Resumo numérico final (valores obtidos; repito para ficar claro e pronto para checar na prova):
-
(trabalho realizado pelo sistema; negativo porque é compressão). -
. -
. -
.
Passo 8
Esboço da trajetória no diagrama
–
(descrição para desenhar):
- Traçar os eixos: abscissa
(m³), ordenada (bar ou Pa). - Marcar o ponto inicial
(à direita, baixa pressão) e o ponto final (à esquerda, alta pressão). - Traçar a isoterma entre os pontos: é uma curva hiperbólica do tipo
constante (a constante vale ). A curva desce suavemente da esquerda para a direita; o sentido do processo é de para (seta apontando para a esquerda/para cima, indicando compressão). - Como há apenas esse processo, só uma curva é necessária; se fosse compará-la com outras trajetórias, manter a isoterma hiperbólica que passa por
e .