Um gás ideal, com
e
, é levado de
bar e
para
bar e
por intermédio dos seguintes processos reversíveis:
compressão adiabática, seguida por resfriamento a pressão constante.
Calcule
e
em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama
.
compressão adiabática, seguida por resfriamento a pressão constante.
Calcule
Passo 1
Dados e o que o enunciado pede (peguei todos esses valores do enunciado):
- Capabilidades molares:
e . - Estado inicial (1):
e . - Estado final (2):
e . - Sequência de processos: compressão reversível adiabática (1
a), seguida de resfriamento a pressão constante (a 2) com .
O enunciado pede, para cada um desses dois processos: - Calcular
(calor trocado, positivo se entra no sistema), -
(trabalho; adotarei a convenção padrão: positivo quando é feito pelo sistema), -
(variação de energia interna), -
(variação de entalpia).
Também pede esboçar as trajetórias no diagrama(vou descrever o esboço nas etapas finais).
Passo 2
Definições, convenções e fórmulas gerais que vou usar (explicando o porquê de cada coisa):
- Primeira lei da termodinâmica (convenção escolhida:
positivo quando o sistema realiza trabalho):
Isto significa: a variação da energia interna é o calor recebido menos o trabalho realizado pelo sistema.
- Para gás ideal mono-componente:
- Lei dos gases ideais em cada estado:
, onde é o número de mols e é a constante universal dos gases . - Variações entre dois estados podem ser expressas sem conhecer
explicitamente: como .
- Lei dos gases ideais em cada estado:
- Energia interna e entalpia para gás ideal:
-
. -
.
Substituindopor e usando , , obtemos fórmulas úteis que não exigem nem absolutos:
-
Essas expressões usam
em unidades SI (
).
- Para processo adiabático reversível de gás ideal vale a lei politrópica adiabática:
Isso permite relacionar
e
entre os estados da adiabática sem conhecer
nem
.
Passo 3
Cálculo de constantes numéricas e conversão de unidades:
- Calcula-se
:
- Converter pressões de bar para pascal (SI):
.
(Chamei a pressão no ponto intermediário da adiabática de
; como o segundo processo é a pressão constante igual a
, temos
.)
Passo 4
Determinar o volume intermediário
(final da adiabática / início da isobárica).
Usando , temos
Usando
Substituindo valores:
Calculemos numericamente
. Como
, tem-se
Portanto
Arredondando com precisão razoável:
.
Passo 5
Calcular os produtos
necessários (lembre:
em SI dá energia em joules):
Observação útil:
numericamente, portanto o estado final tem o mesmo produto
do estado inicial — isso implica
e
entre 1 e 2 serão nulos (mas vamos repartir as variações entre os processos).
Passo 6
Processo 1: compressão adiabática reversível (1
a).
- Para adiabática reversível valem:
. - Variação de energia interna entre 1 e a:
Substituindo números:
- Trabalho realizado pelo sistema (pela primeira lei
com ):
Isto significa que o trabalho realizado pelo gás é negativo (ou seja, trabalho realizado sobre o gás é
).
- Variação de entalpia:
Passo 7
Verificação rápida de sinal e consistência para a adiabática:
- Compressão aumenta
e diminui (energia interna sobe), então esperado — confirmado. - Como a compressão é adiabática (
), o trabalho realizado pelo sistema deve ser negativo (trabalho recebido pelo sistema), e de fato . - Entalpia aumenta também (porque depende da temperatura),
— confirmado.
Passo 8
Processo 2: resfriamento a pressão constante (a
2) com
.
- Trabalho realizado pelo sistema (regra para processo isobárico):
Substituindo:
- Variação de entalpia (e calor a pressão constante; para gás ideal
):
Portanto
- Variação de energia interna:
Verificando a primeira lei:
:
o lado direito é
(pequena diferença por arredondamento) — coerente.
Passo 9
Resultados agregados e observações:
- Soma das variações entre 1 e a e entre a e 2 deve dar variação entre 1 e 2. De fato:
Isto era esperado porque
, logo
para gás ideal e não houve variação de energia interna nem de entalpia no processo total.
- Calor total
. - Trabalho total
(novamente compatível por com , então em módulo e sinal).
Passo 10
Como esboçar as trajetórias no diagrama
(instruções para desenhar na prova):
- Marque o ponto 1 em
, (à direita e baixo em termos de pressão relativa). - A curva adiabática (1
a) sobe rapidamente para a esquerda até o ponto a em , . A adiabática é mais “íngreme” que a isotérmica (para o mesmo estado inicial). - Do ponto a desenhe uma linha horizontal (isobárica) para a esquerda até
no nível de (ponto 2). Essa é a etapa de resfriamento a pressão constante. - Indique setas no sentido do processo (1
a 2). Pronto — é o esboço pedido.
Resposta
Processo adiabático (1
a, adiabática reversível, com
e
):
,
,
,
Processo isobárico (a
2,
, de
a
):
,
,
,