Um gás ideal, com C_{p}=\frac{5}{2} R e C_{v}=\frac{3}{2} R, é levado de P_{1}=1 bar e V_{1}=12 \mathrm{~m}^{3} para P_{2}=12 bar e V_{2}=1 \mathrm{~m}^{3} por intermédio dos seguintes processos reversíveis:
compressão adiabática, seguida por resfriamento a pressão constante.
Calcule Q, W, \Delta U e \Delta H em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama P V.

Passo 1

Dados e o que o enunciado pede (peguei todos esses valores do enunciado):
  • Capabilidades molares: C_{p}=\dfrac{5}{2}R e C_{v}=\dfrac{3}{2}R.
  • Estado inicial (1): P_{1}=1\\ \text{bar} e V_{1}=12\\ \text{m}^{3}.
  • Estado final (2): P_{2}=12\\ \text{bar} e V_{2}=1\\ \text{m}^{3}.
  • Sequência de processos: compressão reversível adiabática (1 \to a), seguida de resfriamento a pressão constante (a \to 2) com P= 12\\ \text{bar}.
    O enunciado pede, para cada um desses dois processos:
  • Calcular Q (calor trocado, positivo se entra no sistema),
  • W (trabalho; adotarei a convenção padrão: W positivo quando é feito pelo sistema),
  • \Delta U (variação de energia interna),
  • \Delta H (variação de entalpia).
    Também pede esboçar as trajetórias no diagrama P\!-\!V (vou descrever o esboço nas etapas finais).

Passo 2

Definições, convenções e fórmulas gerais que vou usar (explicando o porquê de cada coisa):
  • Primeira lei da termodinâmica (convenção escolhida: W positivo quando o sistema realiza trabalho):
\Delta U = Q - W.
Isto significa: a variação da energia interna é o calor recebido menos o trabalho realizado pelo sistema.
  • Para gás ideal mono-componente:
    • Lei dos gases ideais em cada estado: P V = n R T, onde n é o número de mols e R é a constante universal dos gases (R\approx 8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}).
    • Variações entre dois estados podem ser expressas sem conhecer n explicitamente: como n\Delta T = \dfrac{P_2V_2-P_1V_1}{R}.
  • Energia interna e entalpia para gás ideal:
    • \Delta U = n C_v \Delta T.
    • \Delta H = n C_p \Delta T.
      Substituindo n\Delta T por \dfrac{P_2V_2-P_1V_1}{R} e usando C_v=\dfrac{3}{2}R, C_p=\dfrac{5}{2}R, obtemos fórmulas úteis que não exigem n nem T absolutos:
\Delta U = C_v\cdot n\Delta T = \frac{3}{2}R\cdot\frac{P_2V_2-P_1V_1}{R} = \frac{3}{2}\bigl(P_2V_2-P_1V_1\bigr),
\Delta H = \frac{5}{2}\bigl(P_2V_2-P_1V_1\bigr).
Essas expressões usam P V em unidades SI ( \text{Pa}\cdot\text{m}^3 = \text{J}).
  • Para processo adiabático reversível de gás ideal vale a lei politrópica adiabática:
P V^{\gamma}=\text{constante}, \qquad\text{com}\quad \gamma=\frac{C_p}{C_v}.
Isso permite relacionar V e P entre os estados da adiabática sem conhecer T nem n.

Passo 3

Cálculo de constantes numéricas e conversão de unidades:
  • Calcula-se \gamma:
\gamma=\frac{C_p}{C_v}=\frac{\tfrac{5}{2}R}{\tfrac{3}{2}R}=\frac{5}{3}\approx1{,}666\ldots
  • Converter pressões de bar para pascal (SI): 1\\ \text{bar}=1{,}0\times10^{5}\\ \text{Pa}.
P_1=1{,}0\times10^{5}\\ \text{Pa},\qquad P_2=P_a=12{,}0\times10^{5}\\ \text{Pa}=1{,}2\times10^{6}\\ \text{Pa}.
(Chamei a pressão no ponto intermediário da adiabática de P_a; como o segundo processo é a pressão constante igual a 12\\ \text{bar}, temos P_a=P_2.)

Passo 4

Determinar o volume intermediário V_a (final da adiabática / início da isobárica).
Usando P_1V_1^{\gamma}=P_aV_a^{\gamma}, temos
V_a = V_1\left(\frac{P_1}{P_a}\right)^{\!1/\gamma}.
Substituindo valores:
V_a = 12\\ \text{m}^3\left(\frac{1}{12}\right)^{\!1/\gamma} =12\left(12^{-1}\right)^{0{,}6}=12\cdot 12^{-0{,}6}.
Calculemos numericamente 12^{-0{,}6}. Como \ln 12\approx2{,}484907, tem-se
12^{-0{,}6}=\exp\bigl(-0{,}6\ln 12\bigr)\approx\exp(-1{,}490944)\approx0{,}22521.
Portanto
V_a \approx 12\times0{,}22521 \approx 2{,}7026\\ \text{m}^3.
Arredondando com precisão razoável: V_a\approx2{,}703\\ \text{m}^3.

Passo 5

Calcular os produtos P V necessários (lembre: P V em SI dá energia em joules):
P_1V_1 = 1{,}0\times10^{5}\times12 = 1{,}20\times10^{6}\\ \text{J},
P_aV_a = 1{,}2\times10^{6}\times2{,}7026 \approx 3{,}2431\times10^{6}\\ \text{J},
P_2V_2 = 1{,}2\times10^{6}\times1 = 1{,}20\times10^{6}\\ \text{J}.
Observação útil: P_2V_2=P_1V_1 numericamente, portanto o estado final tem o mesmo produto P V do estado inicial — isso implica \Delta U e \Delta H entre 1 e 2 serão nulos (mas vamos repartir as variações entre os processos).

Passo 6

Processo 1: compressão adiabática reversível (1 \to a).
  • Para adiabática reversível valem: Q_{1\to a}=0.
  • Variação de energia interna entre 1 e a:
\Delta U_{1\to a}=\frac{3}{2}\bigl(P_aV_a-P_1V_1\bigr).
Substituindo números:
\Delta U_{1\to a}=\frac{3}{2}\bigl(3{,}2431\times10^{6}-1{,}20\times10^{6}\bigr) =\frac{3}{2}\times2{,}0431\times10^{6}\approx3{,}0647\times10^{6}\\ \text{J}.
  • Trabalho realizado pelo sistema (pela primeira lei \Delta U = Q - W com Q=0):
W_{1\to a}=-\Delta U_{1\to a}\approx-3{,}0647\times10^{6}\\ \text{J}.
Isto significa que o trabalho realizado pelo gás é negativo (ou seja, trabalho realizado sobre o gás é +3{,}0647\times10^{6}\\ \text{J}).
  • Variação de entalpia:
\Delta H_{1\to a}=\frac{5}{2}\bigl(P_aV_a-P_1V_1\bigr) =\frac{5}{2}\times2{,}0431\times10^{6}\approx5{,}1077\times10^{6}\\ \text{J}.

Passo 7

Verificação rápida de sinal e consistência para a adiabática:
  • Compressão aumenta P e diminui V (energia interna sobe), então \Delta U>0 esperado — confirmado.
  • Como a compressão é adiabática ( Q=0), o trabalho realizado pelo sistema deve ser negativo (trabalho recebido pelo sistema), e de fato W<0.
  • Entalpia aumenta também (porque depende da temperatura), \Delta H>0 — confirmado.

Passo 8

Processo 2: resfriamento a pressão constante (a \to 2) com P=P_a=P_2.
  • Trabalho realizado pelo sistema (regra para processo isobárico):
W_{a\to2}=\int_{V_a}^{V_2}P\,dV = P\,(V_2-V_a).
Substituindo:
W_{a\to2}=1{,}2\times10^{6}\times(1-2{,}7026)\approx1{,}2\times10^{6}\times(-1{,}7026) \approx-2{,}0431\times10^{6}\\ \text{J}.
  • Variação de entalpia (e calor a pressão constante; para gás ideal Q_{P}=\Delta H):
\Delta H_{a\to2}=\frac{5}{2}\bigl(P_2V_2-P_aV_a\bigr) =\frac{5}{2}\times(1{,}20\times10^{6}-3{,}2431\times10^{6}) =\frac{5}{2}\times(-2{,}0431\times10^{6}) \approx-5{,}1077\times10^{6}\\ \text{J}.
Portanto
Q_{a\to2}=\Delta H_{a\to2}\approx-5{,}1077\times10^{6}\\ \text{J}.
  • Variação de energia interna:
\Delta U_{a\to2}=\frac{3}{2}\bigl(P_2V_2-P_aV_a\bigr) =\frac{3}{2}\times(-2{,}0431\times10^{6}) \approx-3{,}0647\times10^{6}\\ \text{J}.
Verificando a primeira lei: \Delta U = Q - W:
-3{,}0647\times10^{6} \stackrel{?}{=} -5{,}1077\times10^{6} - (-2{,}0431\times10^{6}),
o lado direito é -5{,}1077\times10^{6}+2{,}0431\times10^{6}=-3{,}0646\times10^{6} (pequena diferença por arredondamento) — coerente.

Passo 9

Resultados agregados e observações:
  • Soma das variações entre 1 e a e entre a e 2 deve dar variação entre 1 e 2. De fato:
\Delta U_{1\to2}=\Delta U_{1\to a}+\Delta U_{a\to2}\approx3{,}0647\times10^{6}+(-3{,}0647\times10^{6})=0,
\Delta H_{1\to2}=5{,}1077\times10^{6}+(-5{,}1077\times10^{6})=0.
Isto era esperado porque P_1V_1=P_2V_2, logo T_1=T_2 para gás ideal e não houve variação de energia interna nem de entalpia no processo total.
  • Calor total Q_{\text{total}}=Q_{1\to a}+Q_{a\to2}=0+(-5{,}1077\times10^{6})=-5{,}1077\times10^{6}\\ \text{J}.
  • Trabalho total W_{\text{total}}=W_{1\to a}+W_{a\to2}\approx -3{,}0647\times10^{6}+(-2{,}0431\times10^{6})=-5{,}1078\times10^{6}\\ \text{J} (novamente compatível por \Delta U=Q-W com \Delta U=0, então Q=W em módulo e sinal).

Passo 10

Como esboçar as trajetórias no diagrama P\!-\!V (instruções para desenhar na prova):
  • Marque o ponto 1 em P=1\\ \text{bar}, V=12\\ \text{m}^3 (à direita e baixo em termos de pressão relativa).
  • A curva adiabática (1 \to a) sobe rapidamente para a esquerda até o ponto a em P=12\\ \text{bar}, V\approx2{,}703\\ \text{m}^3. A adiabática é mais “íngreme” que a isotérmica (para o mesmo estado inicial).
  • Do ponto a desenhe uma linha horizontal (isobárica) para a esquerda até V=1\\ \text{m}^3 no nível de P=12\\ \text{bar} (ponto 2). Essa é a etapa de resfriamento a pressão constante.
  • Indique setas no sentido do processo (1 \to a \to 2). Pronto — é o esboço pedido.

Resposta

Processo adiabático (1 \to a, adiabática reversível, com P_a=12\\ \text{bar} e V_a\approx2{,}703\\ \text{m}^3):
Q=0,
W\approx-3{,}06\times10^{6}\\ \text{J},
\Delta U\approx+3{,}06\times10^{6}\\ \text{J},
\Delta H\approx+5{,}11\times10^{6}\\ \text{J}
Processo isobárico (a \to 2, P=12\\ \text{bar}, de V_a a V_2=1\\ \text{m}^3):
Q\approx-5{,}11\times10^{6}\\ \text{J},
W\approx-2{,}04\times10^{6}\\ \text{J},
\Delta U\approx-3{,}06\times10^{6}\\ \text{J},
\Delta H\approx-5{,}11\times10^{6}\\ \text{J}

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