Um gás ideal, com C_{p}=\frac{5}{2} R e C_{v}=\frac{3}{2} R, é levado de P_{1}=1 bar e V_{1}=12 \mathrm{~m}^{3} para P_{2}=12 bar e V_{2}=1 \mathrm{~m}^{3} por intermédio dos seguintes processos reversíveis:
resfriamento a pressão constante, seguido por aquecimento a volume constante.
Calcule Q, W, \Delta U e \Delta H em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama P V.

Passo 1

O enunciado dá os estados inicial e final e descreve a sequência de processos. Vou listar claramente o que é fornecido e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • P_{1}=1\\ \text{bar}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • V_{1}=12\\ \mathrm{m^{3}}.
  • P_{2}=12\\ \text{bar}=1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • V_{2}=1\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Capacidades molares: C_{p}=\tfrac{5}{2}R e C_{v}=\tfrac{3}{2}R.
Processo pedido (ordem):
  1. Resfriamento a pressão constante (começa em (P_{1},V_{1}) e termina no ponto intermédio).
  2. Aquecimento a volume constante (termina em (P_{2},V_{2})).
O que a questão pede:
  • Calcular, para cada um desses dois processos, os valores de Q (calor trocado), W (trabalho), \Delta U (variação de energia interna) e \Delta H (variação de entalpia).
  • Esboçar as trajetórias em um diagrama P vs V.
Observação que já dá pista sobre a sequência: como o segundo processo é a volume constante e o estado final tem V_{2}=1\\ \mathrm{m^{3}}, o primeiro processo (pressão constante) deve levar o volume de V_{1}=12\\ \mathrm{m^{3}} para V=1\\ \mathrm{m^{3}} mantendo P=1\\ \text{bar}. Portanto os dois passos conectam exatamente os estados dados.

Passo 2

Relembrando fórmulas fundamentais (aulas rápidas):
  • Primeira lei da termodinâmica (sinal convencional usado aqui): \Delta U = Q - W, onde W é o trabalho realizado pelo sistema. Reescrevendo para obter Q: Q = \Delta U + W.
  • Para gás ideal, a energia interna depende só da temperatura: \Delta U = n C_{v} \Delta T.A entalpia também depende só da temperatura: \Delta H = n C_{p} \Delta T.
  • Para processos isobáricos (pressão constante), o trabalho de expansão/compressão é W = P \Delta V.E, pela equação de estado PV = nRT, a variação de temperatura sob P constante satisfaz nR\Delta T = P\Delta V.
    Assim, para isobárico n\Delta T = \frac{P\Delta V}{R}.Substituindo em \Delta U e \Delta H dá fórmulas úteis sem precisar do n nem de T individualmente: \Delta U = C_{v}\frac{P\Delta V}{R},\qquad \Delta H = C_{p}\frac{P\Delta V}{R},e Q = \Delta U + W.
  • Para processos isocóricos (volume constante), W=0. Pela equação de estado nR\Delta T = V\Delta P, então \Delta U = C_{v}\frac{V\Delta P}{R},\qquad \Delta H = C_{p}\frac{V\Delta P}{R},\qquad Q=\Delta U.
  • Observação prática: aqui C_{p} e C_{v} são dados em forma multiplicativa de R. Então os fatores C_{p}/R e C_{v}/R serão números simples: C_{p}/R=\tfrac{5}{2} e C_{v}/R=\tfrac{3}{2}. Isso simplifica muito os cálculos.

Passo 3

Identificar os pontos e os sinais das variações:
  • Processo 1 (isobárico): P=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} constante, de V_{1}=12\\ \mathrm{m^{3}} para V_{a}=1\\ \mathrm{m^{3}} (estado intermediário). Então \Delta V_{1} = V_{a}-V_{1}=1-12=-11\\ \mathrm{m^{3}}.É compressão (volume diminui), então W=P\Delta V será negativo (trabalho feito sobre o sistema).
  • Processo 2 (isocórico): V=1\\ \mathrm{m^{3}} constante, de P_{a}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} para P_{2}=1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}. Então \Delta P_{2}=P_{2}-P_{a}=1{,}2\times10^{6}-1{,}0\times10^{5}=1{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.É aquecimento que aumenta a pressão, com W=0.

Passo 4

Cálculos para o Processo 1 — resfriamento a pressão constante ( P=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, \Delta V=-11\\ \mathrm{m^{3}}):
  • Trabalho:
    W_{1}=P\Delta V = 1{,}0\times10^{5}\cdot(-11) = -1{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
    Interpretação: negativo porque o sistema é comprimido; trabalho é realizado sobre o gás.
  • Variação de energia interna:
    Usando \Delta U = C_{v}\dfrac{P\Delta V}{R} e C_{v}/R=\tfrac{3}{2},
    \Delta U_{1} = \frac{3}{2}\,P\Delta V = \frac{3}{2}\cdot(-1{,}1\times10^{6}) = -1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
    Comentário didático: para gás ideal \Delta U é proporcional à variação de temperatura; aqui a compressão a pressão constante reduz a temperatura, então \Delta U<0.
  • Calor trocado:
    Q_{1} = \Delta U_{1} + W_{1} = -1{,}65\times10^{6} + (-1{,}1\times10^{6}) = -2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
    (Verificação alternativa: Q_{1}=nC_{p}\Delta T = (C_{p}/R)\,P\Delta V = \tfrac{5}{2}\,P\Delta V = -2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}.)
  • Variação de entalpia:
    \Delta H_{1} = nC_{p}\Delta T = \frac{5}{2}\,P\Delta V = -2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
    Observação: para processo isobárico simples \Delta H = Q, por isso \Delta H_{1}=Q_{1}.

Passo 5

Cálculos para o Processo 2 — aquecimento a volume constante ( V=1\\ \mathrm{m^{3}}, \Delta P=1{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}):
  • Trabalho:
    W_{2}=0\quad(\text{volume constante}).
  • Variação de energia interna:
    Usando \Delta U = C_{v}\dfrac{V\Delta P}{R} e C_{v}/R=\tfrac{3}{2},
    \Delta U_{2} = \frac{3}{2}\,V\Delta P = \frac{3}{2}\cdot(1)\cdot(1{,}1\times10^{6}) = 1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
    Interpretação: positiva porque a temperatura sobe.
  • Calor trocado:
    Q_{2} = \Delta U_{2} + W_{2} = 1{,}65\times10^{6} + 0 = 1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
    (Também visto direto: Q_{2}=nC_{v}\Delta T.)
  • Variação de entalpia:
    \Delta H_{2} = nC_{p}\Delta T = \frac{5}{2}\,V\Delta P = \frac{5}{2}\cdot1{,}1\times10^{6} = 2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Verificações e interpretação física:
  • Somando os dois processos em série (trajeto total do estado inicial ao final): \Delta U_{\text{total}}=\Delta U_{1}+\Delta U_{2} = -1{,}65\times10^{6}+1{,}65\times10^{6}=0,o que é consistente com P_{1}V_{1}=1\cdot12=12 e P_{2}V_{2}=12\cdot1=12 (mesmo produto PV => mesmas temperaturas inicial e final para gás ideal).
  • Da mesma forma, \Delta H_{\text{total}}= \Delta H_{1}+\Delta H_{2} = -2{,}75\times10^{6}+2{,}75\times10^{6}=0.
  • Calor total: Q_{\text{total}} = -2{,}75\times10^{6}+1{,}65\times10^{6}=-1{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho total: W_{\text{total}} = -1{,}1\times10^{6}+0 = -1{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{J}.E \Delta U_{\text{total}} = Q_{\text{total}} - W_{\text{total}} confirma 0 = (-1{,}1\times10^{6}) - (-1{,}1\times10^{6}).

Passo 7

Esboço do diagrama P vs V (instruções para desenhar — desenho rápido que você pode traçar à mão):
  • Eixos: eixo vertical é P (em bar, por exemplo de 0 a 12 bar), eixo horizontal é V (de 0 a 12 m³).
  • Marque o ponto inicial A=(V_{1},P_{1})=(12\\ \mathrm{m^{3}},1\\ \text{bar}).
  • Marque o ponto final B=(V_{2},P_{2})=(1\\ \mathrm{m^{3}},12\\ \text{bar}).
  • Trajetória pedida (do enunciado): primeiro uma linha horizontal (isobárica) em P=1\\ \text{bar} indo de V=12 até V=1. Em seguida, uma linha vertical (isocórica) em V=1 subindo de P=1 até P=12.
  • Coloque setas indicando o sentido do processo: de A para o ponto intermédio (1\\ \mathrm{m^{3}},1\\ \text{bar}) e depois para B.
  • Opcional: marque os sinais dos trabalhos (na compressão horizontal o trabalho é negativo) e indique que a segunda etapa não tem área sob a curva (portanto W=0).

Resposta

Processo 1 (isobárico, P=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, V:12\to1\\ \mathrm{m^{3}}):
Q_{1}=-2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}
W_{1}=-1{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{J}
\Delta U_{1}=-1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}
\Delta H_{1}=-2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}
Processo 2 (isocórico, V=1\\ \mathrm{m^{3}}, P:1\to12\\ \text{bar}):
Q_{2}=1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}
W_{2}=0\\ \mathrm{J}
\Delta U_{2}=1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}
\Delta H_{2}=2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}

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