Um gás ideal, com C_{p}=\frac{5}{2} R e C_{v}=\frac{3}{2} R, é levado de P_{1}=1 bar e V_{1}=12 \mathrm{~m}^{3} para P_{2}=12 bar e V_{2}=1 \mathrm{~m}^{3} por intermédio dos seguintes processos reversíveis:
aquecimento a volume constante, seguido por resfriamento a pressão constante.
Calcule Q, W, \Delta U e \Delta H em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama P V.

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Dados iniciais e finais:
    • P_{1}=1\\ \text{bar}, V_{1}=12\\ \text{m}^{3}.
    • P_{2}=12\\ \text{bar}, V_{2}=1\\ \text{m}^{3}.
  • Capacidades molares dadas (do gás ideal):
    • C_{v}=\dfrac{3}{2}R.
    • C_{p}=\dfrac{5}{2}R.
  • Processos sequenciais (reversíveis) que ligam o ponto 1 ao ponto 2:
    1. Aquecimento a volume constante (começando em (P_{1},V_{1})).
    2. Em seguida resfriamento a pressão constante, chegando em (P_{2},V_{2}).
  • O que devemos calcular:
    • Para cada processo (1 e 2): Q (calor trocado), W (trabalho realizado pelo sistema), \Delta U (variação de energia interna) e \Delta H (variação de entalpia).
    • Esboçar as trajetórias no mesmo diagrama P- V.
Observações úteis (já extraídas dos dados): como o processo 1 é a volume constante, o trabalho nessa etapa será nulo; como o processo 2 é a pressão constante, o calor nesse passo será igual a \Delta H do passo 2. Vou usar o sinal usual: W=\int P\,dV é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se há expansão, negativo se há compressão).

Passo 2

Ferramentas e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  1. Lei dos gases ideais:
PV=nRT
onde P é pressão (Pa), V volume (m ^3), n número de mols, R constante universal dos gases ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}) e T temperatura (K).
  1. Energia interna e entalpia para gás ideal:
\Delta U = n C_{v}\Delta T,\qquad \Delta H = n C_{p}\Delta T,
onde C_{v} e C_{p} são capacidades molares dadas (por mol).
  1. Eliminar n e \Delta T usando a lei dos gases:
  • Em processo a volume constante ( V= const), n\Delta T=\dfrac{V\,\Delta P}{R}. Assim
\Delta U = C_{v}\,n\Delta T = C_{v}\,\frac{V\,\Delta P}{R}.
Como C_{v} é dado em função de R, podemos escrever
\Delta U = \frac{C_{v}}{R}\,V\,\Delta P.
De modo análogo,
\Delta H = \frac{C_{p}}{R}\,V\,\Delta P.
  • Em processo a pressão constante ( P= const), n\Delta T=\dfrac{P\,\Delta V}{R}. Assim
\Delta U = \frac{C_{v}}{R}\,P\,\Delta V,\qquad \Delta H = \frac{C_{p}}{R}\,P\,\Delta V.
  1. Trabalho:
  • A definição direta:
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
  • Para processo isocórico (constante V): W=0.
  • Para processo isobárico (constante P): W = P\Delta V (positivo se \Delta V>0).
  1. Relação entre C_{p} e C_{v}: para conferência vale C_{p}-C_{v}=R. Com C_{v}=\tfrac{3}{2}R e C_{p}=\tfrac{5}{2}R isso se confirma, ótimo.
Resumo prático (vamos usar essas fórmulas com os valores numéricos de C_{v} e C_{p}):
\frac{C_{v}}{R}=\frac{3}{2},\qquad \frac{C_{p}}{R}=\frac{5}{2}.

Passo 3

Determinar o estado intermediário e conversões de unidade (para usar Pa e m ^3).
  • Processo 1: parte de (P_{1},V_{1})=(1\\ \text{bar},\,12\\ \text{m}^3) e é a volume constante V=12\\ \text{m}^3. Esse aquecimento vai aumentar P até que o próximo processo (constante P) possa reduzir o volume até V_{2}=1\\ \text{m}^3 mantendo a pressão final P_{2}=12\\ \text{bar}. Portanto o estado intermediário (após passo 1) é (P_{\text{int}},V_{\text{int}})=(12\\ \text{bar},\,12\\ \text{m}^3).
  • Conversões:
    • 1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \text{Pa}.
    • P_{1}=1\times10^{5}\\ \text{Pa}.
    • P_{\text{int}}=P_{2}=12\times10^{5}\\ \text{Pa}=1{,}2\times10^{6}\\ \text{Pa}.
    • V_{1}=12\\ \text{m}^3, V_{\text{int}}=12\\ \text{m}^3, V_{2}=1\\ \text{m}^3.
  • Cálculos auxiliares:
    • Para o passo 1: \Delta P_{1}=P_{\text{int}}-P_{1}=(12-1)\times10^{5}\\ \text{Pa}=11\times10^{5}\\ \text{Pa}=1{,}10\times10^{6}\\ \text{Pa}.
    • Para o passo 2: \Delta V_{2}=V_{2}-V_{\text{int}}=1-12=-11\\ \text{m}^{3}.

Passo 4

Cálculos do processo 1 — aquecimento a volume constante ( V=12\\ \text{m}^{3}, de P_{1}=1\\ \text{bar} a P_{\text{int}}=12\\ \text{bar}).
  • Trabalho:
    W_{1}=0\quad\text{(porque volume constante).}
  • Variação de energia interna:
    Usando \Delta U = \dfrac{C_{v}}{R}\,V\,\Delta P e \dfrac{C_{v}}{R}=\dfrac{3}{2}:
    \Delta U_{1}=\frac{3}{2}\,V\,\Delta P_{1}.
    Substituindo:
    \Delta U_{1}=\frac{3}{2}\times 12\\ \text{m}^{3}\times 1{,}10\times10^{6}\\ \text{Pa}.
    Calculemos:
    \frac{3}{2}\times 12 = 18,\qquad 18\times 1{,}10\times10^{6}=19{,}8\times10^{6}\\ \text{J}.
    Portanto
    \Delta U_{1}=1{,}98\times10^{7}\\ \text{J}.
  • Variação de entalpia:
    Usando \Delta H = \dfrac{C_{p}}{R}\,V\,\Delta P e \dfrac{C_{p}}{R}=\dfrac{5}{2}:
    \Delta H_{1}=\frac{5}{2}\times 12\times 1{,}10\times10^{6}.
\frac{5}{2}\times 12 = 30,\qquad 30\times 1{,}10\times10^{6}=33{,}0\times10^{6}\\ \text{J}.
Portanto
\Delta H_{1}=3{,}30\times10^{7}\\ \text{J}.
  • Calor trocado (primeira lei: Q=\Delta U+W): Q_{1}=\Delta U_{1}+W_{1}=1{,}98\times10^{7}\\ \text{J}+0=1{,}98\times10^{7}\\ \text{J}.
Resumo do passo 1 (números):
Q_{1}=1{,}98\times10^{7}\\ \text{J},\quad W_{1}=0,\quad \Delta U_{1}=1{,}98\times10^{7}\\ \text{J},\quad \Delta H_{1}=3{,}30\times10^{7}\\ \text{J}.

Passo 5

Cálculos do processo 2 — resfriamento a pressão constante ( P=12\\ \text{bar}=1{,}2\times10^{6}\\ \text{Pa}), de V=12\\ \text{m}^{3} até V=1\\ \text{m}^{3}.
  • Trabalho: W_{2}=P\,\Delta V_{2}=1{,}2\times10^{6}\\ \text{Pa}\times(-11\\ \text{m}^{3}).
W_{2}=-13{,}2\times10^{6}\\ \text{J}=-1{,}32\times10^{7}\\ \text{J}.
O sinal negativo indica trabalho realizado sobre o sistema (compressão).
  • Variação de energia interna:
    Usando \Delta U = \dfrac{C_{v}}{R}\,P\,\Delta V com \dfrac{C_{v}}{R}=\tfrac{3}{2}: \Delta U_{2}=\frac{3}{2}\,P\,\Delta V_{2}=\frac{3}{2}\times 1{,}2\times10^{6}\times(-11).
\frac{3}{2}\times 1{,}2\times10^{6}\times(-11) = 1{,}5\times(-13{,}2\times10^{6}) = -19{,}8\times10^{6}\\ \text{J}.
Assim
\Delta U_{2}=-1{,}98\times10^{7}\\ \text{J}.
  • Variação de entalpia: \Delta H_{2}=\frac{5}{2}\,P\,\Delta V_{2}=\frac{5}{2}\times 1{,}2\times10^{6}\times(-11).
\frac{5}{2}\times 1{,}2\times10^{6}\times(-11)=2{,}5\times(-13{,}2\times10^{6})=-33{,}0\times10^{6}\\ \text{J}.
Portanto
\Delta H_{2}=-3{,}30\times10^{7}\\ \text{J}.
  • Calor trocado:
    Pela primeira lei Q_{2}=\Delta U_{2}+W_{2}. Calculando: Q_{2}=-1{,}98\times10^{7}\\ \text{J} + (-1{,}32\times10^{7}\\ \text{J}) = -3{,}30\times10^{7}\\ \text{J}.Note que para processo isobárico Q_{p}=\Delta H, e de fato Q_{2}=\Delta H_{2} — consistência verificada.
Resumo do passo 2 (números):
Q_{2}=-3{,}30\times10^{7}\\ \text{J},\quad W_{2}=-1{,}32\times10^{7}\\ \text{J},\quad \Delta U_{2}=-1{,}98\times10^{7}\\ \text{J},\quad \Delta H_{2}=-3{,}30\times10^{7}\\ \text{J}.

Passo 6

Verificações, soma dos processos e interpretação física:
  • Soma total (caminho completo 1→2): \Delta U_{\text{total}}=\Delta U_{1}+\Delta U_{2}=1{,}98\times10^{7}+(-1{,}98\times10^{7})=0.
\Delta H_{\text{total}}=\Delta H_{1}+\Delta H_{2}=3{,}30\times10^{7}+(-3{,}30\times10^{7})=0.
W_{\text{total}}=W_{1}+W_{2}=0+(-1{,}32\times10^{7})=-1{,}32\times10^{7}\\ \text{J}.
Q_{\text{total}}=Q_{1}+Q_{2}=1{,}98\times10^{7}+(-3{,}30\times10^{7})=-1{,}32\times10^{7}\\ \text{J}.
Observação: \Delta U_{\text{total}}=0 e \Delta H_{\text{total}}=0 fazem sentido porque o estado inicial e final têm o mesmo produto PV ( P_{1}V_{1}=1\times12=12\\ \text{bar·m}^3 e P_{2}V_{2}=12\times1=12\\ \text{bar·m}^3 ), logo a temperatura final é igual à inicial para um gás ideal, e U e H dependem só de T.
  • Interpretação rápida: no primeiro passo absorveu-se calor grande (aquecimento isocórico), no segundo foi removido calor ainda maior (resfriamento isobárico) e houve compressão (trabalho negativo). O balanço final dá \Delta U=0 porque voltamos à mesma temperatura.

Passo 7

Como esboçar o diagrama P- V (instruções passo a passo para desenhar à mão):
  1. Desenhe eixos convencionais: eixo horizontal V (m ^3) aumentando para a direita; eixo vertical P (bar) aumentando para cima.
  2. Marque o ponto inicial 1: (V_{1}=12,\\ P_{1}=1) — isso fica à direita (volume grande) e perto da base (baixa pressão).
  3. Marque o ponto final 2: (V_{2}=1,\\ P_{2}=12) — isso fica à esquerda (volume pequeno) e alto (alta pressão).
  4. Trajetória do processo 1 (aquecimento isocórico): desenhe uma linha vertical em V=12 subindo de P=1 até P=12. Coloque uma seta apontando para cima (porque a pressão aumenta).
  5. Trajetória do processo 2 (resfriamento isobárico): desenhe uma linha horizontal em P=12 indo de V=12 para V=1. Coloque uma seta apontando para a esquerda (porque o volume diminui).
  6. Opcional: indique os valores numéricos nas extremidades e rotule os processos (isocórico, isobárico).
Esse esboço mostra claramente o caminho em dois segmentos: primeiro vertical (constante V), depois horizontal (constante P).

Resposta

\text{Processo 1 (V = const):}\quad Q_{1}=1{,}98\times10^{7}\\ \mathrm{J},\; W_{1}=0,\; \Delta U_{1}=1{,}98\times10^{7}\\ \mathrm{J},\; \Delta H_{1}=3{,}30\times10^{7}\\ \mathrm{J}.\n
\text{Processo 2 (P = const):}\quad Q_{2}=-3{,}30\times10^{7}\\ \mathrm{J},\; W_{2}=-1{,}32\times10^{7}\\ \mathrm{J},\; \Delta U_{2}=-1{,}98\times10^{7}\\ \mathrm{J},\; \Delta H_{2}=-3{,}30\times10^{7}\\ \mathrm{J}.

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