Um gás ideal, com
e
, é levado de
bar e
para
bar e
por intermédio dos seguintes processos reversíveis:
aquecimento a volume constante, seguido por resfriamento a pressão constante.
Calcule
e
em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama
.
aquecimento a volume constante, seguido por resfriamento a pressão constante.
Calcule
Passo 1
O enunciado e os dados relevantes (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
-
Dados iniciais e finais:
-
, . -
, .
-
-
Capacidades molares dadas (do gás ideal):
-
. -
.
-
-
Processos sequenciais (reversíveis) que ligam o ponto 1 ao ponto 2:
- Aquecimento a volume constante (começando em
). - Em seguida resfriamento a pressão constante, chegando em
.
- Aquecimento a volume constante (começando em
-
O que devemos calcular:
- Para cada processo (1 e 2):
(calor trocado), (trabalho realizado pelo sistema), (variação de energia interna) e (variação de entalpia). - Esboçar as trajetórias no mesmo diagrama
- .
- Para cada processo (1 e 2):
Observações úteis (já extraídas dos dados): como o processo 1 é a volume constante, o trabalho nessa etapa será nulo; como o processo 2 é a pressão constante, o calor nesse passo será igual a
do passo 2. Vou usar o sinal usual:
é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se há expansão, negativo se há compressão).
Passo 2
Ferramentas e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Lei dos gases ideais:
onde
é pressão (Pa),
volume (m
),
número de mols,
constante universal dos gases (
) e
temperatura (K).
- Energia interna e entalpia para gás ideal:
onde
e
são capacidades molares dadas (por mol).
- Eliminar
e usando a lei dos gases:
- Em processo a volume constante (
const), . Assim
Como
é dado em função de
, podemos escrever
De modo análogo,
- Em processo a pressão constante (
const), . Assim
- Trabalho:
- A definição direta:
- Para processo isocórico (constante
): . - Para processo isobárico (constante
): (positivo se ).
- Relação entre
e : para conferência vale . Com e isso se confirma, ótimo.
Resumo prático (vamos usar essas fórmulas com os valores numéricos de
e
):
Passo 3
Determinar o estado intermediário e conversões de unidade (para usar Pa e m
).
-
Processo 1: parte de
e é a volume constante . Esse aquecimento vai aumentar até que o próximo processo (constante ) possa reduzir o volume até mantendo a pressão final . Portanto o estado intermediário (após passo 1) é . -
Conversões:
-
. -
. -
. -
, , .
-
-
Cálculos auxiliares:
- Para o passo 1:
- Para o passo 2:
- Para o passo 1:
Passo 4
Cálculos do processo 1 — aquecimento a volume constante (
, de
a
).
-
Trabalho:
-
Variação de energia interna:
Usandoe : Substituindo:Calculemos:Portanto -
Variação de entalpia:
Usandoe :
Portanto
- Calor trocado (primeira lei:
):
Resumo do passo 1 (números):
Passo 5
Cálculos do processo 2 — resfriamento a pressão constante (
), de
até
.
- Trabalho:
O sinal negativo indica trabalho realizado sobre o sistema (compressão).
- Variação de energia interna:
Usandocom :
Assim
- Variação de entalpia:
Portanto
- Calor trocado:
Pela primeira lei. Calculando: Note que para processo isobárico , e de fato — consistência verificada.
Resumo do passo 2 (números):
Passo 6
Verificações, soma dos processos e interpretação física:
- Soma total (caminho completo 1→2):
Observação:
e
fazem sentido porque o estado inicial e final têm o mesmo produto
(
e
), logo a temperatura final é igual à inicial para um gás ideal, e U e H dependem só de
.
- Interpretação rápida: no primeiro passo absorveu-se calor grande (aquecimento isocórico), no segundo foi removido calor ainda maior (resfriamento isobárico) e houve compressão (trabalho negativo). O balanço final dá
porque voltamos à mesma temperatura.
Passo 7
Como esboçar o diagrama
-
(instruções passo a passo para desenhar à mão):
- Desenhe eixos convencionais: eixo horizontal
(m ) aumentando para a direita; eixo vertical (bar) aumentando para cima. - Marque o ponto inicial
: — isso fica à direita (volume grande) e perto da base (baixa pressão). - Marque o ponto final
: — isso fica à esquerda (volume pequeno) e alto (alta pressão). - Trajetória do processo 1 (aquecimento isocórico): desenhe uma linha vertical em
subindo de até . Coloque uma seta apontando para cima (porque a pressão aumenta). - Trajetória do processo 2 (resfriamento isobárico): desenhe uma linha horizontal em
indo de para . Coloque uma seta apontando para a esquerda (porque o volume diminui). - Opcional: indique os valores numéricos nas extremidades e rotule os processos (isocórico, isobárico).
Esse esboço mostra claramente o caminho em dois segmentos: primeiro vertical (constante
), depois horizontal (constante
).