Um gás ideal, inicialmente a 600 K e 10 bar, passa por um ciclo de quatro etapas, mecanicamente reversível e em um sistema fechado. Na etapa 12, a pressão diminui isotermicamente para 3 bar; na etapa 23, a pressão diminui a volume constante para 2 bar; na etapa 34 , o volume diminui a pressão constante; e na etapa 41, o gás retorna adiabaticamente ao seu estado inicial. Considere
e
.
(a) Esboce o ciclo em um diagrama
.
(b) Determine (onde forem desconhecidos) os valores de
e
para os estados 1, 2, 3, e 4.
(c) Calcule
e
para cada etapa do ciclo.
(a) Esboce o ciclo em um diagrama
(b) Determine (onde forem desconhecidos) os valores de
(c) Calcule
Passo 1
Aqui eu vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede, para a gente não se perder no meio do caminho.
Dados fornecidos (vou colocar tudo explicitamente):
O ciclo tem quatro etapas, mecanicamente reversível, sistema fechado, e as etapas são:
- Etapa
: processo isotérmico com a pressão caindo até . - Etapa
: pressão diminui a volume constante (isochoric) até . - Etapa
: volume diminui a pressão constante (isobárico) — ou seja, . - Etapa
: retorno adiabático reversível ao estado inicial.
Constantes dadas:
Coisas que o enunciado pede:
(a) Esboçar o ciclo no diagrama .
(b) Determinar (onde forem desconhecidos) os valores de e
nos estados
.
(c) Calcular e
para cada etapa do ciclo.
(a) Esboçar o ciclo no diagrama
(b) Determinar (onde forem desconhecidos) os valores de
(c) Calcular
Observação de conveniência (vou assumir para facilitar cálculos): escolher
mol do gás ideal. Isso é um jeito padrão de obter resultados por mol; se quisermos para outra quantidade, basta multiplicar por
.
Não resolvo nada neste passo — só organizei o que foi dado e o que vamos achar.
Passo 2
Relembrando a relação fundamental do gás ideal que vamos usar para obter volumes e temperaturas:
onde
é a pressão (em Pa),
é o volume (m³),
é o número de mols,
é a constante dos gases
e
é a temperatura (K).
Como escolhi
mol, calculo os volumes iniciais com pressões convertidas para Pa (
).
Cálculo do volume no estado 1:
Etapa
é isotérmica (
) e o enunciado diz
. Então
Volume em 2 via
:
Etapa
é a volume constante, e o enunciado dá
. Como
e
é conhecido, calculo
por
. Mas é mais rápido usar proporcionalidade (V constante):
Confirmando com a lei dos gases daria o mesmo.
Etapa
é isobárica com
. O volume
não é dado diretamente; ele será tal que, ao fazer o passo adiabático
, o estado 1 seja recuperado. Para o processo adiabático reversível de um gás ideal vale a relação
Aqui
.
Usamos
. Como
e
,
Calculando numericamente:
Então
foi encontrado. Agora
pela equação do gás ideal:
Resumo dos estados (valores calculados, por mol):
Passo 3
Agora eu explico quais fórmulas de termodinâmica vamos usar para calcular
em cada etapa — e por que.
- Primeira lei (convenção usada): o trabalho
é o trabalho realizado pelo sistema; então a energia térmica trocada é
Explico: essa forma é prática porque em muitos livros tem
, que é equivalente.
- Para gás ideal fechado:
Aqui
. Isso vale porque para gás ideal
e
dependem só de
.
- Fórmulas de trabalho para processos descritos:
- Processo isotérmico reversível (para gás ideal):
. Como constante, isso é direto. Pela relação dos estados isotérmicos podemos também escrever (já que quando constante). - Processos isocóricos (volume constante):
. - Processos isobáricos (pressão constante):
. - Processo adiabático reversível:
; as relações úteis são const e const.
Observação sobre sinais:
significa trabalho realizado pelo gás (expansão). Se
significa trabalho realizado sobre o gás (compressão).
Com essas fórmulas a gente calcula passo a passo cada etapa.
Passo 4
Delta de temperatura:
Trabalho reversível isotérmico:
pois
(isotérmico). Numericamente, com
:
Logo
Como
, obtemos
pela primeira lei:
E
.
Passo 5
Volume constante
.
Temperaturas:
, então
Energia interna:
Calculando:
Entalpia:
Calor trocado:
Passo 6
Pressão constante
.
Volumes:
,
. Logo variação de volume
Trabalho (feito pelo gás):
(Sinal negativo: trabalho realizado sobre o gás.)
Temperaturas:
, então
Energia interna:
Entalpia:
Calor trocado:
o que bate com
(como esperado em processo isobárico:
).
Passo 7
Por definição adiabática reversível aqui:
Primeira lei dá
Temperaturas:
, então
Energia interna:
(Note que é positivo: energia interna aumenta, o gás aquece.) Então o trabalho (feito pelo gás) é
Sinal negativo: trabalho sobre o gás (isto é, durante a compressão adiabática o trabalho é realizado sobre o sistema).
Entalpia:
Checagem de consistência do ciclo:
- Soma dos
ao longo do ciclo deve ser zero: (verifique com os números). - Soma dos
do ciclo deve ser igual ao trabalho líquido (primeira lei aplicada ao ciclo).
Resposta
(a) Esboço do ciclo
: isoterma horizontal descendente em
de
bar até
bar (expansão isotérmica, de
para
); depois curva vertical descendente (linha vertical para baixo) de
bar a
bar em
const (isochoric,
); depois linha horizontal para a esquerda em
bar (isobárico, compressão de
para
); finalmente uma curva adiabática que sobe de
para
e de
bar para
bar (compressão adiabática reversível) fechando o ciclo.
(b) Estados (por mol, com
mol):
(c) Para cada etapa (valores por mol; sinais:
trabalho feito pelo gás):
(Observação: pequenos arredondamentos podem levar a diferenças de algumas unidades na soma; os valores apresentados são consistentes entre si e satisfazem as relações
em cada etapa e as propriedades de um ciclo fechado:
,
, e
.)]