Um gás ideal, com
e
, é levado de
bar e
para
bar e
por intermédio dos seguintes processos mecanicamente reversíveis:
(e) Resfriamento a pressão constante, seguido por aquecimento a volume constante.
Calcule
e
em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama
.
(e) Resfriamento a pressão constante, seguido por aquecimento a volume constante.
Passo 1
O enunciado dá:
e os calores específicos molares (por unidade de
):
O processo pedido em (e) é composto por duas etapas mecanicamente reversíveis, em sequência:
- resfriamento a pressão constante (isobárico) desde o estado
até um estado intermediário com a mesma pressão; - aquecimento a volume constante (isocórico) até o estado final
.
O que precisamos calcular: para cada uma das duas etapas (e também para o processo total) calcular
(calor trocado, tomado como positivo se entra no sistema),
(trabalho realizado pelo sistema, positivo se realizado pelo sistema),
(variação de energia interna total) e
(variação de entalpia total). Além disso, esboçar as trajetórias no diagrama
.
Informações úteis que já vejo aqui (não resolvo ainda): como é gás ideal, vale a equação dos gases ideais
, e para gás ideal monoatômico (os
dados coincidem com monoatômico ideal) valem as relações
e
. Também lembraremos que para processo isobárico
e para isocórico
. A resolução começa agora.
Passo 2
Primeiro escrevemos a forma conveniente de usar os dados sem conhecer
ou
separados: multiplicando a equação dos gases por
dá o produto numérico
(unidade J, pois
). Vou converter pressões de bar para Pa:
Calculo os produtos
(que são iguais a
) nos pontos conhecidos:
Observação importante:
, ou seja
. Assim o estado final tem a mesma temperatura do inicial, portanto para o processo total:
Já sabemos as variações totais de energia interna e entalpia: zero.
Passo 3
Agora identifiquemos o estado intermediário
alcançado após o resfriamento a pressão constante. O isobárico começa em
e vai manter
até atingir o volume igual ao volume final (pois a segunda etapa é volume constante até
). Logo o estado
é:
Verifico
. Assim
é muito menor que
.
Passo 4
Escrevo fórmulas que vou usar (explico cada uma):
- Primeira lei da termodinâmica (forma usada aqui):
onde
é o trabalho realizado pelo sistema (se for trabalho sobre o sistema,
será negativo).
- Para gás ideal:
Como não conhecemos
e
separadamente uso a identidade
porque
e eu já calculei
nos estados relevantes. Note que
e
são apenas números: aqui
e
.
- Trabalho em processos mecânicos reversíveis:
- isobárico:
. - isocórico:
.
- isobárico:
Também usamos que para processo isobárico
e para isocórico
(consequência direta da primeira lei e do fato
).
Passo 5
Estados:
Calculo do trabalho (feito pelo sistema):
(O sinal negativo indica trabalho realizado sobre o sistema — houve compressão volumétrica enquanto a pressão externa era aproximadamente
.)
Calculo de
para esta etapa:
Agora
:
E
:
Como é processo isobárico,
. Verifico pela primeira lei:
coincidindo com
, como esperado.
Passo 6
Estados:
Trabalho:
Então
Como isocórico,
. Verifico pela primeira lei:
, consistente.
Passo 7
Somando:
Observação física: como
, a energia interna e entalpia totais não mudam; o trabalho total é igual ao calor total (ambos negativos), indicando que, no conjunto, houve mais calor retirado do que fornecido e o trabalho resultou negativo (trabalho sobre o sistema).
Passo 8
Desenhe eixos: abscissa
(aumenta para a direita), ordenada
(aumenta para cima). Plote os três pontos:
- Estado 1:
e — ponto à direita, pressão baixa. - Estado
: e — mesmo nível de pressão, muito mais à esquerda. - Estado 2:
e — diretamente acima do ponto .
Trajetória do processo (e):
- primeira etapa: segmento horizontal (isobárico) da direita para a esquerda ao nível
, de até (resfriamento + compressão a pressão constante); - segunda etapa: segmento vertical (isocórico) subindo em
de até (aquecimento a volume constante).
Se quiser comparar com outros processos (a–d) em geral, coloque esses dois segmentos no mesmo gráfico; aqui, especificamente, os dois segmentos acima descrevem totalmente o caminho (e).
Resposta
Processo 1 (isobárico,
):
,
,
,
Processo 2 (isocórico,
):
,
,
,
Processo total (isobárico seguido de isocórico):
,
,
,