Um gás ideal, com C_{P}=(5 / 2) R e C_{V}=(3 / 2) R, é levado de P_{1}=1 bar e V_{1}^{t}=12 \mathrm{~m}^{3} para P_{2}=12 bar e V_{2}^{t} =1 \mathrm{~m}^{3} por intermédio dos seguintes processos mecanicamente reversíveis:
(e) Resfriamento a pressão constante, seguido por aquecimento a volume constante.
Calcule Q, W, \Delta U^{t} e \Delta H^{t} em cada um desses processos e esboce as trajetórias de todos os processos em um único diagrama P V.

Passo 1

O enunciado dá:
P_{1}=1\\ \text{bar},\qquad V_{1}^{t}=12\\ \text{m}^{3}, \qquad P_{2}=12\\ \text{bar},\qquad V_{2}^{t}=1\\ \text{m}^{3},
e os calores específicos molares (por unidade de R):
C_{P}=\frac{5}{2}R,\qquad C_{V}=\frac{3}{2}R.
O processo pedido em (e) é composto por duas etapas mecanicamente reversíveis, em sequência:
  1. resfriamento a pressão constante (isobárico) desde o estado (P_{1},V_{1}^{t}) até um estado intermediário A com a mesma pressão;
  2. aquecimento a volume constante (isocórico) até o estado final (P_{2},V_{2}^{t}).
O que precisamos calcular: para cada uma das duas etapas (e também para o processo total) calcular Q (calor trocado, tomado como positivo se entra no sistema), W (trabalho realizado pelo sistema, positivo se realizado pelo sistema), \Delta U^{t} (variação de energia interna total) e \Delta H^{t} (variação de entalpia total). Além disso, esboçar as trajetórias no diagrama P\!-\!V.
Informações úteis que já vejo aqui (não resolvo ainda): como é gás ideal, vale a equação dos gases ideais \;P V = n R T\;, e para gás ideal monoatômico (os C dados coincidem com monoatômico ideal) valem as relações \Delta U = n C_{V}\Delta T e \Delta H = n C_{P}\Delta T. Também lembraremos que para processo isobárico Q_{p}=\Delta H e para isocórico Q_{v}=\Delta U. A resolução começa agora.

Passo 2

Primeiro escrevemos a forma conveniente de usar os dados sem conhecer n ou T separados: multiplicando a equação dos gases por nR dá o produto numérico nR T = P V (unidade J, pois 1\\ \text{Pa}\cdot\text{m}^{3}=1\\ \text{J}). Vou converter pressões de bar para Pa:
1\\ \text{bar}=10^{5}\\ \text{Pa}.
Calculo os produtos P V (que são iguais a nR T) nos pontos conhecidos:
nR T_{1} = P_{1}V_{1} = (1\times10^{5}\\ \text{Pa})\cdot(12\\ \text{m}^{3}) = 1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{J},
nR T_{2} = P_{2}V_{2} = (12\times10^{5}\\ \text{Pa})\cdot(1\\ \text{m}^{3}) = 1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Observação importante: \;nR T_{1}=nR T_{2}\;, ou seja \;T_{1}=T_{2}. Assim o estado final tem a mesma temperatura do inicial, portanto para o processo total:
\Delta T_{\text{total}}=0 \quad\Rightarrow\quad \Delta U_{\text{total}}=nC_{V}\Delta T=0,\qquad \Delta H_{\text{total}}=nC_{P}\Delta T=0.
Já sabemos as variações totais de energia interna e entalpia: zero.

Passo 3

Agora identifiquemos o estado intermediário A alcançado após o resfriamento a pressão constante. O isobárico começa em (P_{1}=1\\ \text{bar},V_{1}=12\\ \text{m}^{3}) e vai manter P=1\\ \text{bar} até atingir o volume igual ao volume final (pois a segunda etapa é volume constante até V_{2}=1\\ \text{m}^{3}). Logo o estado A é:
P_{A}=1\\ \text{bar},\qquad V_{A}=1\\ \text{m}^{3}.
Verifico nR T_{A}=P_{A}V_{A}=(1\times10^{5})(1)=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{J}. Assim T_{A} é muito menor que T_{1}.

Passo 4

Escrevo fórmulas que vou usar (explico cada uma):
  • Primeira lei da termodinâmica (forma usada aqui):
\Delta U = Q - W,
onde W é o trabalho realizado pelo sistema (se for trabalho sobre o sistema, W será negativo).
  • Para gás ideal:
\Delta U = n C_{V}\Delta T,\qquad \Delta H = n C_{P}\Delta T.
Como não conhecemos n e T separadamente uso a identidade
nC_{V}\Delta T = \frac{C_{V}}{R}\,\Delta(nR T), \qquad nC_{P}\Delta T = \frac{C_{P}}{R}\,\Delta(nR T),
porque \Delta(nR T)=\Delta(PV) e eu já calculei nR T nos estados relevantes. Note que C_{V}/R e C_{P}/R são apenas números: aqui C_{V}/R=3/2 e C_{P}/R=5/2.
  • Trabalho em processos mecânicos reversíveis:
    • isobárico: W_{p}=\displaystyle\int_{V_i}^{V_f}P\,dV = P\,(V_{f}-V_{i}).
    • isocórico: W_{v}=0.
Também usamos que para processo isobárico Q_{p}=\Delta H e para isocórico Q_{v}=\Delta U (consequência direta da primeira lei e do fato W_{v}=0).

Passo 5

Estados:
\text{início: }(P_{1}=1\\ \text{bar},V_{1}=12\\ \text{m}^{3}),\qquad \text{fim: }(P_{A}=1\\ \text{bar},V_{A}=1\\ \text{m}^{3}).í
Calculo do trabalho (feito pelo sistema):
W_{1}=P_{1}(V_{A}-V_{1})=(1\times10^{5}\\ \text{Pa})(1-12)\\ \text{m}^{3} = -1{,}10\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
(O sinal negativo indica trabalho realizado sobre o sistema — houve compressão volumétrica enquanto a pressão externa era aproximadamente 1\\ \text{bar}.)
Calculo de \Delta(nR T) para esta etapa:
\Delta(nR T)_{1}=nR T_{A}-nR T_{1}=1{,}0\times10^{5}-1{,}2\times10^{6}=-1{,}10\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Agora \Delta U_{1}:
\Delta U_{1}=nC_{V}\Delta T = \frac{C_{V}}{R}\,\Delta(nR T)_{1} = \frac{3}{2}\,(-1{,}10\times10^{6}) = -1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
E \Delta H_{1}:
\Delta H_{1}=nC_{P}\Delta T = \frac{C_{P}}{R}\,\Delta(nR T)_{1} = \frac{5}{2}\,(-1{,}10\times10^{6}) = -2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Como é processo isobárico, Q_{1}= \Delta H_{1}. Verifico pela primeira lei:
Q_{1}=\Delta U_{1}+W_{1}= -1{,}65\times10^{6} + (-1{,}10\times10^{6}) = -2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J},
coincidindo com \Delta H_{1}, como esperado.

Passo 6

Estados:
\text{início: }(P_{A}=1\\ \text{bar},V_{A}=1\\ \text{m}^{3}),\qquad \text{fim: }(P_{2}=12\\ \text{bar},V_{2}=1\\ \text{m}^{3}).í
Trabalho:
W_{2}=0\quad\text{(isocórico).}ó
\Delta(nR T) para esta etapa:
\Delta(nR T)_{2}=nR T_{2}-nR T_{A}=1{,}2\times10^{6}-1{,}0\times10^{5}=1{,}10\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Então
\Delta U_{2}= \frac{C_{V}}{R}\,\Delta(nR T)_{2} = \frac{3}{2}(1{,}10\times10^{6}) = 1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
\Delta H_{2}= \frac{C_{P}}{R}\,\Delta(nR T)_{2} = \frac{5}{2}(1{,}10\times10^{6}) = 2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
Como isocórico, Q_{2}=\Delta U_{2}=1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}. Verifico pela primeira lei: Q_{2}=\Delta U_{2}+W_{2}=1{,}65\times10^{6}+0, consistente.

Passo 7

Somando:
W_{\text{total}}=W_{1}+W_{2}=-1{,}10\times10^{6}+0=-1{,}10\times10^{6}\\ \mathrm{J},
Q_{\text{total}}=Q_{1}+Q_{2}=-2{,}75\times10^{6}+1{,}65\times10^{6}=-1{,}10\times10^{6}\\ \mathrm{J},
\Delta U_{\text{total}}=\Delta U_{1}+\Delta U_{2}=-1{,}65\times10^{6}+1{,}65\times10^{6}=0,
\Delta H_{\text{total}}=\Delta H_{1}+\Delta H_{2}=-2{,}75\times10^{6}+2{,}75\times10^{6}=0.
Observação física: como T_{2}=T_{1}, a energia interna e entalpia totais não mudam; o trabalho total é igual ao calor total (ambos negativos), indicando que, no conjunto, houve mais calor retirado do que fornecido e o trabalho resultou negativo (trabalho sobre o sistema).

Passo 8

Desenhe eixos: abscissa V (aumenta para a direita), ordenada P (aumenta para cima). Plote os três pontos:
  • Estado 1: P_{1}=1\\ \text{bar} e V_{1}=12\\ \text{m}^{3} — ponto à direita, pressão baixa.
  • Estado A: P_{A}=1\\ \text{bar} e V_{A}=1\\ \text{m}^{3} — mesmo nível de pressão, muito mais à esquerda.
  • Estado 2: P_{2}=12\\ \text{bar} e V_{2}=1\\ \text{m}^{3} — diretamente acima do ponto A.
Trajetória do processo (e):
  • primeira etapa: segmento horizontal (isobárico) da direita para a esquerda ao nível P=1\\ \text{bar}, de V=12 até V=1 (resfriamento + compressão a pressão constante);
  • segunda etapa: segmento vertical (isocórico) subindo em V=1 de P=1 até P=12 (aquecimento a volume constante).
Se quiser comparar com outros processos (a–d) em geral, coloque esses dois segmentos no mesmo gráfico; aqui, especificamente, os dois segmentos acima descrevem totalmente o caminho (e).

Resposta

Processo 1 (isobárico, 1\\ \text{bar},\,12\to1\\ \text{m}^{3}): Q_{1}=-2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}, W_{1}=-1{,}10\times10^{6}\\ \mathrm{J}, \Delta U_{1}^{t}=-1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}, \Delta H_{1}^{t}=-2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}
Processo 2 (isocórico, 1\\ \text{m}^{3},\,1\to12\\ \text{bar}): Q_{2}=1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}, W_{2}=0\\ \mathrm{J}, \Delta U_{2}^{t}=1{,}65\times10^{6}\\ \mathrm{J}, \Delta H_{2}^{t}=2{,}75\times10^{6}\\ \mathrm{J}
Processo total (isobárico seguido de isocórico): Q_{\text{total}}=-1{,}10\times10^{6}\\ \mathrm{J}, W_{\text{total}}=-1{,}10\times10^{6}\\ \mathrm{J}, \Delta U_{\text{total}}^{t}=0\\ \mathrm{J}, \Delta H_{\text{total}}^{t}=0\\ \mathrm{J}

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