Um gás ideal monoatômico, a 35^{\circ} \mathrm{C} e a 2 atm , realiza uma expansão na qual o seu volume duplica. Determine o trabalho que pode ser realizado, considerando a expansão:
isotérmica e reversível;

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (e pede o trabalho realizado na expansão isotérmica e reversível):
  • Temperatura inicial: 35^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão inicial: 2\\ \mathrm{atm}.
  • A expansão duplica o volume: V_f = 2V_i.
    O que é pedido: determinar o trabalho que pode ser realizado durante a expansão isotérmica reversível.
    Observação importante: o problema não fornece a quantidade de gás n nem o volume inicial V_i. Por isso a resposta ficará em forma geral (dependendo de n) e, se quisermos um valor numérico, podemos calcular o trabalho por mol ( n=1\\ \mathrm{mol}). Não se resolvem outras partes aqui — apenas listei os dados e o objetivo.

Passo 2

Conceito básico e fórmula que vamos usar (aula rápido e direta):
  • Em termodinâmica, o trabalho realizado pelo gás durante uma expansão reversível é dado por
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV,
onde P é a pressão do gás ao longo do processo. Aqui adotamos a convenção: trabalho positivo quando realizado pelo gás (essa escolha é comum em muitos exercícios; se usar a convenção sinal-contrário, só trocar o sinal no final).
  • Para um gás ideal em processo isotérmico a temperatura T é constante, e a equação de estado do gás ideal vale
P V = n R T,
onde:
  • P é a pressão do gás (em \mathrm{Pa} se usar R em \mathrm{J/(mol\cdot K)});
  • V é o volume;
  • n é o número de mols;
  • R é a constante universal dos gases ( R \approx 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)});
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.

Passo 3

Aplicando a equação do gás ideal no integrando: como o processo é isotérmico, T é constante e P pode ser escrito como
P=\frac{nRT}{V}.
Substituímos na integral do trabalho:
W=\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV.
Aqui n, R e T são constantes e podem sair da integral.

Passo 4

Resolver a integral passo a passo:
W = n R T \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V}\,dV = n R T \left[ \ln V \right]_{V_i}^{V_f} = n R T \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Explicando: a integral de 1/V é \ln V. No caso de expansão com V_f=2V_i temos
\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln 2.
Portanto a expressão geral do trabalho realizado pelo gás na expansão isotérmica reversível é
W = n R T \ln 2.
Também podemos reescrever usando P_i V_i = nRT (lei dos gases) como
W = P_i V_i \ln 2,
o que é útil quando P_i e V_i são conhecidos.

Passo 5

Converter a temperatura para Kelvin (passo obrigatório sempre que usar R em unidades SI):
T = 35^\circ\mathrm{C} = 35 + 273{,}15 = 308{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Cálculo numérico por mol (caso prático útil se não se souber n): tomar n=1\\ \mathrm{mol}. Usando R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
calcule nRT:
nRT = 1\cdot 8{,}314\cdot 308{,}15 \\ \mathrm{J} \approx 2\,562{,}10\\ \mathrm{J}.
Agora multiplicar por \ln 2 \approx 0{,}693147:
W_{\text{(1 mol)}} = 2\,562{,}10 \times 0{,}693147 \\ \mathrm{J} \approx 1\,776{,}7\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
W_{\text{(1 mol)}} \approx 1{,}78\times10^{3}\\ \mathrm{J} \approx 1{,}78\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Interpretação final e observações práticas (dicas para prova):
  • Fórmula curta que deve ficar na cabeça para este tipo de questão isotérmica reversível:
W = n R T \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Se o enunciado der apenas a pressão inicial P_i e a relação de volumes (como aqui), pode-se usar W = P_i V_i \ln(V_f/V_i), mas note que V_i precisa estar em unidades compatíveis com P_i (SI: P em \mathrm{Pa}, V em \mathrm{m^3}) para obter W em joules.
  • Sempre converter temperatura para Kelvin antes de usar R.
  • Lembre-se do ln do fator de expansão: duplicar volume => ln2; triplicar => ln3, etc.
  • Motivação e ânimo: esse tipo de integral é padrão em termodinâmica e dá para decorar a técnica: substituir P por nRT/V, integrar 1/V, usar ln do fator de volume. Você já consegue aplicar isso rapidinho na prova.

Resposta

W = n R T \ln 2
W_{\text{(para }n=1\\ \mathrm{mol})} \approx 1{,}78\times10^{3}\\ \mathrm{J}\\ (\approx 1{,}78\\ \mathrm{kJ})

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