Um gás ideal monoatômico, a
e a 2 atm , realiza uma expansão na qual o seu volume duplica. Determine o trabalho que pode ser realizado, considerando a expansão:
isotérmica e reversível;
isotérmica e reversível;
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (e pede o trabalho realizado na expansão isotérmica e reversível):
- Temperatura inicial:
. - Pressão inicial:
. - A expansão duplica o volume:
.
O que é pedido: determinar o trabalho que pode ser realizado durante a expansão isotérmica reversível.
Observação importante: o problema não fornece a quantidade de gásnem o volume inicial . Por isso a resposta ficará em forma geral (dependendo de ) e, se quisermos um valor numérico, podemos calcular o trabalho por mol ( ). Não se resolvem outras partes aqui — apenas listei os dados e o objetivo.
Passo 2
Conceito básico e fórmula que vamos usar (aula rápido e direta):
- Em termodinâmica, o trabalho realizado pelo gás durante uma expansão reversível é dado por
onde
é a pressão do gás ao longo do processo. Aqui adotamos a convenção: trabalho positivo quando realizado pelo gás (essa escolha é comum em muitos exercícios; se usar a convenção sinal-contrário, só trocar o sinal no final).
- Para um gás ideal em processo isotérmico a temperatura
é constante, e a equação de estado do gás ideal vale
onde:
-
é a pressão do gás (em se usar em ); -
é o volume; -
é o número de mols; -
é a constante universal dos gases ( ); -
é a temperatura absoluta em Kelvin.
Passo 3
Aplicando a equação do gás ideal no integrando: como o processo é isotérmico,
é constante e
pode ser escrito como
Substituímos na integral do trabalho:
Aqui
,
e
são constantes e podem sair da integral.
Passo 4
Resolver a integral passo a passo:
Explicando: a integral de
é
. No caso de expansão com
temos
Portanto a expressão geral do trabalho realizado pelo gás na expansão isotérmica reversível é
Também podemos reescrever usando
(lei dos gases) como
o que é útil quando
e
são conhecidos.
Passo 5
Converter a temperatura para Kelvin (passo obrigatório sempre que usar
em unidades SI):
Passo 6
Cálculo numérico por mol (caso prático útil se não se souber
): tomar
. Usando
,
calcule :
calcule
Agora multiplicar por
:
Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos:
Passo 7
Interpretação final e observações práticas (dicas para prova):
- Fórmula curta que deve ficar na cabeça para este tipo de questão isotérmica reversível:
- Se o enunciado der apenas a pressão inicial
e a relação de volumes (como aqui), pode-se usar , mas note que precisa estar em unidades compatíveis com (SI: em , em ) para obter em joules. - Sempre converter temperatura para Kelvin antes de usar
. - Lembre-se do ln do fator de expansão: duplicar volume => ln2; triplicar => ln3, etc.
- Motivação e ânimo: esse tipo de integral é padrão em termodinâmica e dá para decorar a técnica: substituir
por , integrar , usar ln do fator de volume. Você já consegue aplicar isso rapidinho na prova.