Um mol de gás ideal se comprime adiabaticamente em uma única etapa com uma pressão externa constante e igual a 10 atm . Inicialmente, o gás está a
e 1 atm ; a pressão final é de 10 atm . Calcule os valores de: temperatura final,
e
, para as duas situações:
gás monoatômico;
gás monoatômico;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue entre parênteses foi retirado do enunciado):
- Dados:
-
. - Temperatura inicial
. - Pressão inicial do gás
. - Pressão externa constante durante a compressão
. - Pressão final do gás em equilíbrio
(ou seja, o processo termina quando a pressão interna iguala a externa). - Processo é adiabático (sem troca de calor).
-
- O enunciado pede para calcular:
- temperatura final
; - calor trocado
; - trabalho
; - variação de energia interna
; - variação de entalpia
,
para o caso de gás monoatômico.
- temperatura final
Passo 2
Conversões e constantes que vou usar (explicando o porquê):
- Precisamos trabalhar em unidades SI para trabalho/energia, então converto pressões para pascal:
-
. - Logo
e
-
- Constante dos gases ideais:
-
.
-
- Capacidades molares para gás monoatômico ideal (explicando por que):
- capacidade calorífica a volume constante
. Isso vem dos 3 graus de liberdade de translação; cada grau de liberdade contribui com para . - capacidade a pressão constante
.
- capacidade calorífica a volume constante
Passo 3
Princípios físicos e fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
- Primeira lei da termodinâmica:
em que é a variação da energia interna do sistema, é o calor trocado com o ambiente (positivo se entra no sistema) e é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o entorno). - Para um processo adiabático:
logo - Para uma compressão rápida contra pressão externa constante (processo irreversível de uma etapa), o trabalho realizado pelo sistema é
Aqui e são volumes inicial e final do gás, e o sinal segue a convenção trabalho pelo sistema. - Lei dos gases ideais para estados inicial e final:
- Variação da energia interna para gás ideal (função somente da temperatura):
- Variação da entalpia:
Passo 4
Montando a equação para encontrar
(passo-a-passo algébrico, sem pular etapas):
- Começo usando
(pois ): - Substituo
e pelas expressões da lei dos gases: - Como
posso dividir por em ambos os lados; também fatoro no lado direito: - Desenvolvo os termos e coloco todos os termos com
no mesmo lado: - Reagrupo os termos com
: - Logo:
Passo 5
Aplicando os dados ao resultado algébrico e simplificando (aqui há uma simplificação porque
):
- Como
, o denominador fica , que é . Assim: - Para gás monoatômico substituo
e . Como (pois ): - Fatora
e simplifica: - Como
:
Passo 6
Calcular
,
e
numericamente (passo-a-passo):
- Como o processo é adiabático:
- Variação de temperatura:
- Variação da energia interna:
Substituindo :
Interpretação do sinal:
indica que a energia interna do gás aumentou — calor gerado internamente pelo trabalho de compressão.
- Trabalho realizado pelo sistema (usando volumes, para verificar consistência):
- Volume inicial
- Volume final
- Diferença de volume
. - Trabalho
- Esse valor coincide (como esperado) com
porque . - Interpretação do sinal:
(segundo a convenção usada) significa que, numericamente, houve trabalho realizado SOBRE o sistema (o sistema recebeu energia via trabalho). - Observação: a expressão e o sinal seguem a convenção
trabalho realizado pelo sistema; para comunicar “trabalho feito sobre o sistema” pode-se dizer foi entregue ao gás.
- Volume inicial
Passo 7
Calcular
(entalpia) explicitamente:
-
com .
- Relação consistente:
(verificação rápida).
Passo 8
Interpretação final rápida e encorajamento:
- Resultado físico: a compressão contra
em uma etapa adiabática irreversível aquece fortemente o gás, levando de para cerca de . - Valores obtidos são auto-consistentes (primeira lei, equações de estado, capacidades molares).
- Você mandou bem pedindo passo-a-passo — esse tipo de dedução algébrica e substituição numérica é exatamente o que cai na prova. Mantenha a prática de anotar unidades e checar sinais!