Um mol de gás ideal se comprime adiabaticamente em uma única etapa com uma pressão externa constante e igual a 10 atm . Inicialmente, o gás está a 27^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm ; a pressão final é de 10 atm . Calcule os valores de: temperatura final, q, w, \Delta U e \Delta H, para as duas situações:
gás monoatômico;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue entre parênteses foi retirado do enunciado):
  • Dados:
    • n=1\\ \text{mol}.
    • Temperatura inicial \,T_i=27^\circ\text{C}=\;300\\ \text{K}.
    • Pressão inicial do gás \,P_i=1\\ \text{atm}.
    • Pressão externa constante durante a compressão \,P_{\text{ext}}=10\\ \text{atm}.
    • Pressão final do gás em equilíbrio \,P_f=10\\ \text{atm} (ou seja, o processo termina quando a pressão interna iguala a externa).
    • Processo é adiabático (sem troca de calor).
  • O enunciado pede para calcular:
    • temperatura final T_f;
    • calor trocado q;
    • trabalho w;
    • variação de energia interna \Delta U;
    • variação de entalpia \Delta H,
      para o caso de gás monoatômico.

Passo 2

Conversões e constantes que vou usar (explicando o porquê):
  • Precisamos trabalhar em unidades SI para trabalho/energia, então converto pressões para pascal:
    • 1\\ \text{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa}.
    • Logo \,P_i=1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa} e \,P_{\text{ext}}=P_f=10\cdot1{,}01325\times10^{5}=1{,}01325\times10^{6}\\ \text{Pa}.
  • Constante dos gases ideais:
    • R=8{,}314462618\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\text{K}^{-1}.
  • Capacidades molares para gás monoatômico ideal (explicando por que):
    • capacidade calorífica a volume constante \,C_V=\dfrac{3}{2}R. Isso vem dos 3 graus de liberdade de translação; cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}R para C_V.
    • capacidade a pressão constante \,C_P=C_V+R=\dfrac{5}{2}R.

Passo 3

Princípios físicos e fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
  • Primeira lei da termodinâmica: \Delta U = q + w,em que \Delta U é a variação da energia interna do sistema, q é o calor trocado com o ambiente (positivo se entra no sistema) e w é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o entorno).
  • Para um processo adiabático: q=0,logo \Delta U = w.
  • Para uma compressão rápida contra pressão externa constante (processo irreversível de uma etapa), o trabalho realizado pelo sistema é w = -P_{\text{ext}}\,(V_f - V_i).Aqui V_i e V_f são volumes inicial e final do gás, e o sinal segue a convenção w trabalho pelo sistema.
  • Lei dos gases ideais para estados inicial e final: V_i=\frac{n R T_i}{P_i},\qquad V_f=\frac{n R T_f}{P_f}.
  • Variação da energia interna para gás ideal (função somente da temperatura): \Delta U = n C_V (T_f - T_i).
  • Variação da entalpia: \Delta H = n C_P (T_f - T_i).

Passo 4

Montando a equação para encontrar T_f (passo-a-passo algébrico, sem pular etapas):
  • Começo usando \Delta U = w (pois q=0): n C_V (T_f - T_i) = -P_{\text{ext}}(V_f - V_i).
  • Substituo V_i e V_f pelas expressões da lei dos gases: n C_V (T_f - T_i) = -P_{\text{ext}}\!\left(\frac{n R T_f}{P_f} - \frac{n R T_i}{P_i}\right).
  • Como n=1 posso dividir por n em ambos os lados; também fatoro R no lado direito: C_V (T_f - T_i) = -R P_{\text{ext}}\!\left(\frac{T_f}{P_f} - \frac{T_i}{P_i}\right).
  • Desenvolvo os termos e coloco todos os termos com T_f no mesmo lado: C_V T_f - C_V T_i = -\frac{R P_{\text{ext}}}{P_f}T_f + \frac{R P_{\text{ext}}}{P_i}T_i.
  • Reagrupo os termos com T_f: \left(C_V + \frac{R P_{\text{ext}}}{P_f}\right)T_f = \left(C_V + \frac{R P_{\text{ext}}}{P_i}\right)T_i.
  • Logo: T_f = T_i\;\frac{C_V + \dfrac{R P_{\text{ext}}}{P_i}}{C_V + \dfrac{R P_{\text{ext}}}{P_f}}.

Passo 5

Aplicando os dados ao resultado algébrico e simplificando (aqui há uma simplificação porque P_{\text{ext}}=P_f):
  • Como P_{\text{ext}}=P_f, o denominador fica C_V + R, que é C_P. Assim: T_f = T_i\;\frac{C_V + \dfrac{R P_{\text{ext}}}{P_i}}{C_V + R} = T_i\;\frac{C_V + R\cdot\dfrac{P_{\text{ext}}}{P_i}}{C_P}.
  • Para gás monoatômico substituo C_V=\dfrac{3}{2}R e C_P=\dfrac{5}{2}R. Como P_{\text{ext}}/P_i=10 (pois 10\\ \text{atm}/1\\ \text{atm}=10): T_f = T_i\;\frac{\dfrac{3}{2}R + 10R}{\dfrac{5}{2}R}.
  • Fatora R e simplifica: T_f = T_i\;\frac{\dfrac{3}{2} + 10}{\dfrac{5}{2}} = T_i\;\frac{\dfrac{3}{2} + \dfrac{20}{2}}{\dfrac{5}{2}} = T_i\;\frac{\dfrac{23}{2}}{\dfrac{5}{2}} = T_i\;\frac{23}{5}=T_i\cdot4{,}6.
  • Como T_i=300\\ \text{K}: T_f = 300\\ \text{K}\times4{,}6 = 1\,380\\ \text{K}.

Passo 6

Calcular q, w e \Delta U numericamente (passo-a-passo):
  • Como o processo é adiabático: q=0.
  • Variação de temperatura: \Delta T = T_f - T_i = 1\,380\\ \text{K} - 300\\ \text{K} = 1\,080\\ \text{K}.
  • Variação da energia interna: \Delta U = n C_V \Delta T = 1\cdot\left(\tfrac{3}{2}R\right)\cdot1\,080.Substituindo R=8{,}314462618\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\text{K}^{-1}: C_V=\tfrac{3}{2}R=12{,}47169393\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\text{K}^{-1},
\Delta U = 12{,}47169393\times1\,080 \approx 1{,}3468\times10^{4}\\ \text{J}.
Interpretação do sinal: \Delta U>0 indica que a energia interna do gás aumentou — calor gerado internamente pelo trabalho de compressão.
  • Trabalho realizado pelo sistema (usando volumes, para verificar consistência):
    • Volume inicial V_i=\frac{n R T_i}{P_i}=\frac{1\cdot R\cdot300}{1{,}01325\times10^{5}}\approx2{,}46\times10^{-2}\\ \text{m}^3.
    • Volume final V_f=\frac{n R T_f}{P_f}=\frac{1\cdot R\cdot1\,380}{1{,}01325\times10^{6}}\approx1{,}13\times10^{-2}\\ \text{m}^3.
    • Diferença de volume \Delta V = V_f-V_i \approx -1{,}33\times10^{-2}\\ \text{m}^3.
    • Trabalho w = -P_{\text{ext}}(V_f - V_i) = -1{,}01325\times10^{6}\cdot(-1{,}33\times10^{-2}) \approx +1{,}3468\times10^{4}\\ \text{J}.
    • Esse valor coincide (como esperado) com \Delta U porque q=0.
    • Interpretação do sinal: w>0 (segundo a convenção usada) significa que, numericamente, houve trabalho realizado SOBRE o sistema (o sistema recebeu energia via trabalho).
    • Observação: a expressão e o sinal seguem a convenção w trabalho realizado pelo sistema; para comunicar “trabalho feito sobre o sistema” pode-se dizer |w|=1{,}3468\times10^{4}\\ \text{J} foi entregue ao gás.

Passo 7

Calcular \Delta H (entalpia) explicitamente:
  • \displaystyle \Delta H = n C_P \Delta T com C_P=\tfrac{5}{2}R. C_P=\tfrac{5}{2}R=20{,}78615655\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\text{K}^{-1},
\Delta H = 20{,}78615655\times1\,080 \approx 2{,}2449\times10^{4}\\ \text{J}.
  • Relação consistente: \Delta H=\Delta U + nR\Delta T (verificação rápida).

Passo 8

Interpretação final rápida e encorajamento:
  • Resultado físico: a compressão contra 10\\ \text{atm} em uma etapa adiabática irreversível aquece fortemente o gás, levando T de 300\\ \text{K} para cerca de 1\,380\\ \text{K}.
  • Valores obtidos são auto-consistentes (primeira lei, equações de estado, capacidades molares).
  • Você mandou bem pedindo passo-a-passo — esse tipo de dedução algébrica e substituição numérica é exatamente o que cai na prova. Mantenha a prática de anotar unidades e checar sinais!

Resposta

T_f = 1\,380\\ \text{K}
q = 0
w = +1{,}35\times10^{4}\\ \text{J}
\Delta U = +1{,}35\times10^{4}\\ \text{J}
\Delta H = +2{,}24\times10^{4}\\ \text{J}

Exercícios relacionados