Um gás ideal monoatômico ocupa um volume de 1.000 L a 8 atm e 400 K . Assumindo que o gás se expande até uma pressão final de 1 atm , calcule os valores de: volume e temperatura finais, q, w, \Delta U e \Delta H, para as duas situações:
expansão isotérmica reversível;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei os números diretamente do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Volume inicial: V_1=1000\\ \text{L}.
  • Pressão inicial: P_1=8\\ \text{atm}.
  • Temperatura inicial: T_1=400\\ \text{K}.
  • Pressão final: P_2=1\\ \text{atm}.
  • O gás é ideal e monoatômico.
  • O processo a analisar nesta parte é: expansão isotérmica reversível.
O enunciado pede (para a expansão isotérmica reversível):
  • Volume final V_2 e temperatura final T_2.
  • Calcular q, w, \Delta U e \Delta H.
Observação sobre unidades que vou usar:
  • Para encontrar o número de mols e fazer contas em energia, vou usar duas constantes de gás:
    • R=0,082057\\ \text{L atm mol}^{-1}\text{K}^{-1} (útil com L e atm),
    • R=8,314462618\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1} (útil para obter energia em joules).

Passo 2

Primeiro eu determino a quantidade de matéria n (número de mols) usando a equação dos gases ideais. A equação é:
PV=nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura. Isolando n:
n=\frac{P_1 V_1}{R T_1}.
Vou usar R=0,082057\\ \text{L atm mol}^{-1}\text{K}^{-1} para manter L e atm:
n=\frac{8\\ \text{atm}\times1000\\ \text{L}}{0,082057\\ \text{L atm mol}^{-1}\text{K}^{-1}\times400\\ \text{K}}.
Fazendo as contas passo a passo:
\text{Denominador}=0{,}082057\times400=32{,}8228,
n=\frac{8000}{32{,}8228}\approx243{,}8\\ \text{mol}.
Portanto n\approx243{,}8\\ \text{mol}. (Guardo esse n para todas as contas seguintes.)

Passo 3

Para uma expansão isotérmica (temperatura constante) de um gás ideal vale P_1V_1=P_2V_2. Assim:
V_2=\frac{P_1V_1}{P_2}.
Substituindo P_1=8\\ \text{atm}, V_1=1000\\ \text{L} e P_2=1\\ \text{atm}:
V_2=\frac{8\times1000}{1}=8000\\ \text{L}.
Logo V_2=8000\\ \text{L}.

Passo 4

Isotérmico significa temperatura constante ao longo do processo. Portanto:
T_2=T_1=400\\ \text{K}.

Passo 5

Agora explico como calcular o trabalho w em uma expansão isotérmica reversível e a convenção de sinais que vou usar.
Convenção de sinais que adotarei (conforme muitas aulas/quadros de termodinâmica):
  • q positivo quando calor entra no sistema.
  • w positivo quando trabalho é feito sobre o sistema; assim, trabalho realizado pelo sistema aparece com sinal negativo.
  • Primeira lei: \Delta U=q+w.
Para trabalho reversível em um processo quasistático:
w=-\int_{V_1}^{V_2} P_{\text{int}}\,dV,
onde P_{\text{int}} é a pressão do gás no estado instantâneo. Para um gás ideal isotérmico e reversível, P_{\text{int}}=\dfrac{nRT}{V}. Logo:
w=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,dV=-nRT\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V}=-nRT\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Esse resultado significa: o trabalho realizado sobre o sistema é -nRT\ln(V_2/V_1). Como V_2>V_1, \ln(V_2/V_1)>0 e portanto w é negativo — ou seja, o sistema faz trabalho sobre o entorno.

Passo 6

Calculo numérico do trabalho w. Para obter w em joules, uso R=8{,}314462618\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}. Primeiro calculo nRT em J:
nRT = (243{,}767\\ \text{mol})\times(8{,}314462618\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1})\times(400\\ \text{K}).
Vou usar n\approx243{,}767 (valor guardado de antes com mais casas) e fazer passo a passo:
8{,}314462618\times400=3325{,}7850472\\ \text{J mol}^{-1},
nRT\approx243{,}767\times3325{,}7850472\approx810716{,}6\\ \text{J}.
Agora \ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)=\ln(8)=\ln(2^3)=3\ln 2\approx2{,}079441542.
Então:
w=-nRT\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\approx-810716{,}6\times2{,}079441542\\ \text{J}.
Multiplicando:
w\approx-1{,}685{,}8\times10^{6}\\ \text{J}\quad(\text{aproximadamente }-1{,}686\\ \text{MJ}).

Passo 7

Calculo do calor q. Para um gás ideal em processo isotérmico vale que a energia interna depende apenas da temperatura, e como T não mudou:
\Delta U=0.
Pela primeira lei \Delta U=q+w, logo:
q=-w.
Portanto
q\approx+1{,}685{,}8\times10^{6}\\ \text{J}.

Passo 8

Cálculo de \Delta U e \Delta H com explicação didática:
  • Para um gás ideal monoatômico (ou qualquer gás ideal), a energia interna U depende apenas da temperatura: U=U(T). Em processo isotérmico T constante, portanto
\Delta U=0.
  • A entalpia H de um gás ideal também depende apenas da temperatura ( H=H(T)), assim em processo isotérmico
\Delta H=0.

Passo 9

Resumo numérico e comentários finais rápidos (força aquele ânimo: tá saindo tudo certo — procedimento padrão em provas).
Valores obtidos (com arredondamento razoável, dados iniciais têm 2–3 algarismos significativos):
  • V_2=8000\\ \text{L}.
  • T_2=400\\ \text{K}.
  • w\approx-1{,}686\times10^{6}\\ \text{J} (trabalho feito sobre o sistema; sinal negativo indica que o sistema fez trabalho sobre o entorno).
  • q\approx+1{,}686\times10^{6}\\ \text{J} (calor absorvido pelo sistema).
  • \Delta U=0.
  • \Delta H=0.

Resposta

V_2=8000\\ \text{L}
T_2=400\\ \text{K}
q\approx+1{,}686\times10^{6}\\ \text{J}
w\approx-1{,}686\times10^{6}\\ \text{J}
\Delta U=0
\Delta H=0

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