Um gás ideal com n moles e de coeficiente ’ Upsilon que se encontra a temperatura T0 e ocupa um volume V0 sofre uma expansão isotérmica e seu volume passa a ser igual a V1. Em seguida é isolado termicamente e se expande adiabaticamente até seu volume ser igual a V2.
a) Desenhe o diagrama PV do processo
b) Calcule o calor trocado pelo gás.
c) Calcule a temperatura final do gás.
d) Calcule o trabalho total realizado pelo gás.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um gás ideal com n mols, coeficiente adiabático Υ (ou γ), temperatura inicial T₀ e volume V₀. Primeiro ele sofre uma expansão isotérmica até V₁ (ou seja, T = constante = T₀) e, em seguida, fica termicamente isolado e se expande adiabaticamente até V₂.
Matéria: termodinâmica de gases ideais – processos isotérmico e adiabático.
O que vamos usar:
  1. Equação de estado do gás ideal: .
  2. Para isoterma: ΔU = 0 ⇒ Q = W = ∫P dV = nRT₀ ln(V₁/V₀).
  3. Para adiabática: Q = 0, PV^γ = constante e TV^{γ−1} = constante; trabalho dado por W = nC_v(T₁−T₂).

Passo 2

(a) Diagrama P×V
– De V₀ até V₁ desenha uma curva isoterma (uma hipérbole) passando por (V₀,P₀) até (V₁,P₁), com P₁ = nRT₀/V₁.
– De V₁ até V₂ desenha uma curva adiabática (mais “pendente” que a isoterma), partindo de (V₁,P₁) e chegando em (V₂,P₂), com P₂V₂^γ = P₁V₁^γ.

Passo 3

(b) Calor trocado Q_total
– Na isoterma: ΔU = 0 ⇒ Q_iso = W_iso = ∫_{V₀}^{V₁} P dV = nR T₀ ln!\bigl(\tfrac{V₁}{V₀}\bigr).
– Na adiabática: Q_ad = 0.
Logo
Qrm total ;=; Qrm iso + Qrm ad ;=; nR,T0,ln!l(tfracV1V0r),

Passo 4

© Temperatura final T₂
Na adiabática vale
T,V^gamma-1 = constanteLongrightarrow T1,V1^gamma-1 = T2,V2^gamma-1
Como T₁ = T₀ (foi isoterma),
T2 = T0,l(tfracV1V2r)^gamma-1,

Passo 5

(d) Trabalho total W_total
– Isoterma:
Wrm iso = nR,T0,ln!l(tfracV1V0r)
– Adiabática: ΔU = nC_{v}(T_{2}-T_{1}) e Q_ad = 0 ⇒ W_ad = -ΔU = nC_{v}(,T_{1}-T_{2},).
Como Wrm ad = n,Rgamma-1,l(T0 - T2r) e T₁=T₀, T₂ do passo anterior,
Wrm total = Wrm iso + Wrm ad = nR,T0,ln!l(tfracV1V0r) ;+; n,Rgamma-1,l[T0 - T0(tfracV1V2)^gamma-1r]
Então

Resposta

a) Diagrama P×V: curva isoterma de (V₀,P₀) a (V₁,P₁) seguida de curva adiabática de (V₁,P₁) a (V₂,P₂).
b) W = nR,T0,ln!l(tfracV1V0r) ;+; n,Rgamma-1,l[T0 - T0l(tfracV1V2r)^gamma-1r]
c)
d)

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