Um gás ideal sofre uma compressão adiabática no seu estado inicial com
e
para o estado final com
. Calcule,
a) O valor do coeficiente
desse gás.
b) A temperatura final.
c) A energia cinética translacional por mol antes e depois da compressão.
a) O valor do coeficiente
b) A temperatura final.
c) A energia cinética translacional por mol antes e depois da compressão.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é uma compressão adiabática de um gás ideal.
Enunciado resumido:
Enunciado resumido:
- Estado inicial: P₀, V₀, T₀
- Estado final: P_f = P₀·10⁵, V_f = V₀/1000
Pediram:
a) coeficiente adiabático γ (às vezes chamado Υ)
b) temperatura final T_f
c) energia cinética translacional por mol antes (E₁) e depois (E₂)
Para resolver isso, vamos usar a teoria de processo adiabático:
- Relação PVᵞ = constante
- Relação entre temperaturas e volumes em adiabática: T·V^{γ−1} = constante
- Energia cinética translacional por mol de gás ideal: E = (f/2)·R·T, para monatomic f=3
Passo 2
Vamos achar γ usando PVᵞ = constante.
P₀·V₀ᵞ = P_f·V_fᵞ
Substitui P_f = 10⁵·P₀ e V_f = V₀/1000:
P₀·V₀ᵞ = (10⁵·P₀)·(V₀/1000)ᵞ
Divide os dois lados por P₀·V₀ᵞ:
1 = 10⁵·(V₀ᵞ / 1000ᵞ) / V₀ᵞ
1 = 10⁵ / 1000ᵞ
Logo
1000ᵞ = 10⁵
Mas 1000 = 10³, então (10³)ᵞ = 10⁵ ⇒ 3γ = 5 ⇒
γ = 5/3
P₀·V₀ᵞ = P_f·V_fᵞ
Substitui P_f = 10⁵·P₀ e V_f = V₀/1000:
P₀·V₀ᵞ = (10⁵·P₀)·(V₀/1000)ᵞ
Divide os dois lados por P₀·V₀ᵞ:
1 = 10⁵·(V₀ᵞ / 1000ᵞ) / V₀ᵞ
1 = 10⁵ / 1000ᵞ
Logo
1000ᵞ = 10⁵
Mas 1000 = 10³, então (10³)ᵞ = 10⁵ ⇒ 3γ = 5 ⇒
γ = 5/3
Passo 3
Agora T_f usando T·V^{γ−1} = constante, ou diretamente
T_f = T₀·(V₀/V_f)^{γ−1}
Como V₀/V_f = 1000 e γ−1 = (5/3)−1 = 2/3:
T_f = T₀·1000^{2/3}
1000^{2/3} = (10³)^{2/3} = 10² = 100
Logo
T_f = 100·T₀
T_f = T₀·(V₀/V_f)^{γ−1}
Como V₀/V_f = 1000 e γ−1 = (5/3)−1 = 2/3:
T_f = T₀·1000^{2/3}
1000^{2/3} = (10³)^{2/3} = 10² = 100
Logo
T_f = 100·T₀
Passo 4
Energia cinética translacional por mol de um gás ideal monatomic é
E = (f/2)·R·T, com f=3 ⇒ E = (3/2)·R·T
Antes da compressão:
E₁ = (3/2)·R·T₀
Depois da compressão:
E₂ = (3/2)·R·T_f = (3/2)·R·(100·T₀) = 100·(3/2)·R·T₀ = 100·E₁
E = (f/2)·R·T, com f=3 ⇒ E = (3/2)·R·T
Antes da compressão:
E₁ = (3/2)·R·T₀
Depois da compressão:
E₂ = (3/2)·R·T_f = (3/2)·R·(100·T₀) = 100·(3/2)·R·T₀ = 100·E₁
Resposta
a) γ = 5/3
b) T_f = 100·T₀
c)
E₁ = (3/2)·R·T₀
E₂ = (3/2)·R·T_f = 100·(3/2)·R·T₀
b) T_f = 100·T₀
c)
E₁ = (3/2)·R·T₀
E₂ = (3/2)·R·T_f = 100·(3/2)·R·T₀