Um gás sofre um processo quase-estático e se expande a partir de um estado A caracterizado por um volume V_{0} e uma pressão p_{0} até um estado B correspondente a um volume V_{1}. Nessa expansão a pressão varia com o volume de acordo com
p=p_{0} V_{0}^{5 / 3} V^{-5 / 3}
(a) Determine a pressão p_{1} correspondente ao estado B.
(b) Calcule o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande do estado A até o estado B.
(c) Supondo que essa expansão seja adiabática, qual é a variação da energia interna?
(d) O gás teve sua energia interna aumentada ou diminuída?

Passo 1

O enunciado dá a variação da pressão com o volume durante a expansão:
p = p_{0}\,V_{0}^{5/3}\,V^{-5/3},
onde \,p_{0}\, e \,V_{0}\, são a pressão e o volume no estado A, e o estado B tem volume \,V_{1}\,. As perguntas são:
(a) determinar a pressão \,p_{1}\, no estado B;
(b) calcular o trabalho realizado pelo gás na expansão de A para B;
(c) supondo que a expansão seja adiabática, calcular a variação da energia interna \,\Delta U\; do gás;
(d) dizer se a energia interna aumentou ou diminuiu.

Passo 2

(a) Para achar \,p_{1}\, basta avaliar a lei dada em V=V_{1}. Substituindo:
p_{1}=p_{0}\,V_{0}^{5/3}\,V_{1}^{-5/3}.
Podemos escrever isso de forma mais compacta como
p_{1}=p_{0}\left(\frac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{5/3}.
Aqui cada símbolo significa: \,p_{1}\, é a pressão no estado B; \,p_{0},V_{0},V_{1}\, já estavam no enunciado.

Passo 3

(b) O trabalho realizado pelo gás em um processo quase-estático é
W=\int_{V_{0}}^{V_{1}} p\,dV.
Substituindo a expressão de \,p(V)\, temos
W=\int_{V_{0}}^{V_{1}} p_{0}\,V_{0}^{5/3}\,V^{-5/3}\,dV = p_{0}\,V_{0}^{5/3}\int_{V_{0}}^{V_{1}} V^{-5/3}\,dV.
Calcule a integral. Uma primitiva de \,V^{-5/3}\, é -\tfrac{3}{2}V^{-2/3}, porque
\frac{d}{dV}\left(-\tfrac{3}{2}V^{-2/3}\right) = -\tfrac{3}{2}\left(-\tfrac{2}{3}\right)V^{-5/3}=V^{-5/3}.
Portanto
W = p_{0}\,V_{0}^{5/3}\left[-\tfrac{3}{2}V^{-2/3}\right]_{V_{0}}^{V_{1}} = -\tfrac{3}{2}p_{0}\,V_{0}^{5/3}\left(V_{1}^{-2/3}-V_{0}^{-2/3}\right).
Agora simplifique: V_{0}^{5/3}V_{0}^{-2/3}=V_{0} e V_{0}^{5/3}V_{1}^{-2/3}=V_{0}\left(\dfrac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{2/3}. Assim
W=\tfrac{3}{2}p_{0}V_{0}\left[1-\left(\frac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{2/3}\right].
Observação rápida de consistência: se \,V_{1}>V_{0}\, então \left(\dfrac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{2/3}<1 e W>0, ou seja, o gás realiza trabalho ao expandir — faz sentido físico.

Passo 4

(c) Use a Primeira Lei da Termodinâmica na forma
\Delta U = Q - W,
onde \,Q\, é o calor trocado e \,W\, o trabalho feito pelo sistema. Para uma transformação adiabática vale \,Q=0, logo
\Delta U = -W.
Substituindo o resultado de W:
\Delta U = -\tfrac{3}{2}p_{0}V_{0}\left[1-\left(\frac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{2/3}\right] = \tfrac{3}{2}p_{0}V_{0}\left[\left(\frac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{2/3}-1\right].
Adicional (verificação didática): para um gás ideal monatomicamente clássico tem-se U=\tfrac{3}{2}nRT e pV=nRT, então U=\tfrac{3}{2}pV. Assim
\Delta U = \tfrac{3}{2}(p_{1}V_{1}-p_{0}V_{0}).
Usando o valor de p_{1}V_{1}=p_{0}V_{0}^{5/3}V_{1}^{-2/3}=p_{0}V_{0}\left(\dfrac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{2/3} recupera-se exatamente a expressão acima, confirmando consistência entre as abordagens.

Passo 5

(d) Para decidir se a energia interna aumentou ou diminuiu, observe o sinal de \Delta U. Se \,V_{1}>V_{0}\, (expansão), então \left(\dfrac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{2/3}<1 e, portanto,
\Delta U = \tfrac{3}{2}p_{0}V_{0}\left[\left(\frac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{2/3}-1\right]<0.
Logo a energia interna diminuiu. Intuição física: numa expansão adiabática o gás usa sua energia interna para realizar trabalho, por isso a energia interna cai.

Resposta

(a) \displaystyle p_{1}=p_{0}\left(\dfrac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{5/3}\n
(b) \displaystyle W=\tfrac{3}{2}p_{0}V_{0}\left[1-\left(\dfrac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{2/3}\right]\n
(c) \displaystyle \Delta U=\tfrac{3}{2}p_{0}V_{0}\left[\left(\dfrac{V_{0}}{V_{1}}\right)^{2/3}-1\right]\n
(d) Diminuída.

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