Um gás sofre um processo quase-estático e se expande a partir de um estado
caracterizado por um volume
e uma pressão
até um estado
correspondente a um volume
. Nessa expansão a pressão varia com o volume de acordo com
(a) Determine a pressão
correspondente ao estado
.
(b) Calcule o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande do estado
até o estado
.
(c) Supondo que essa expansão seja adiabática, qual é a variação da energia interna?
(d) O gás teve sua energia interna aumentada ou diminuída?
(b) Calcule o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande do estado
(c) Supondo que essa expansão seja adiabática, qual é a variação da energia interna?
(d) O gás teve sua energia interna aumentada ou diminuída?
Passo 1
O enunciado dá a variação da pressão com o volume durante a expansão:
onde
e
são a pressão e o volume no estado
, e o estado
tem volume
. As perguntas são:
(a) determinar a pressão no estado
;
(b) calcular o trabalho realizado pelo gás na expansão de para
;
(c) supondo que a expansão seja adiabática, calcular a variação da energia interna do gás;
(d) dizer se a energia interna aumentou ou diminuiu.
(a) determinar a pressão
(b) calcular o trabalho realizado pelo gás na expansão de
(c) supondo que a expansão seja adiabática, calcular a variação da energia interna
(d) dizer se a energia interna aumentou ou diminuiu.
Passo 2
(a) Para achar
basta avaliar a lei dada em
. Substituindo:
Podemos escrever isso de forma mais compacta como
Aqui cada símbolo significa:
é a pressão no estado
;
já estavam no enunciado.
Passo 3
(b) O trabalho realizado pelo gás em um processo quase-estático é
Substituindo a expressão de
temos
Calcule a integral. Uma primitiva de
é
, porque
Portanto
Agora simplifique:
e
. Assim
Observação rápida de consistência: se
então
e
, ou seja, o gás realiza trabalho ao expandir — faz sentido físico.
Passo 4
(c) Use a Primeira Lei da Termodinâmica na forma
onde
é o calor trocado e
o trabalho feito pelo sistema. Para uma transformação adiabática vale
, logo
Substituindo o resultado de
:
Adicional (verificação didática): para um gás ideal monatomicamente clássico tem-se
e
, então
. Assim
Usando o valor de
recupera-se exatamente a expressão acima, confirmando consistência entre as abordagens.
Passo 5
(d) Para decidir se a energia interna aumentou ou diminuiu, observe o sinal de
. Se
(expansão), então
e, portanto,
Logo a energia interna diminuiu. Intuição física: numa expansão adiabática o gás usa sua energia interna para realizar trabalho, por isso a energia interna cai.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d) Diminuída.
(b)
(c)
(d) Diminuída.