Cansado de estudar termodinâmica, você tem a ideia de ficar rico fabricando diamante a partir de grafite. Para fazer esse processo a
é necessário aumentar a pressão até que o grafite e o diamante estejam em equilíbrio. Os seguintes dados estão disponíveis a
:
Estime a pressão em que as duas formas de carbono estarão em equilíbrio a
.
Passo 1
O problema pede para estimar a pressão em que grafite e diamante estarão em equilíbrio a
. Os dados fornecidos são:
-
. -
. -
.
O que se solicita explicitamente: calcular a pressão
(a
) na qual
.
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e clara).
- A energia livre de Gibbs molar
de uma fase, à temperatura constante, varia com a pressão segundo a relação diferencial
onde
é o volume molar da fase (volume por mol). Aqui:
-
é o potencial químico ou Gibbs molar (J/mol), -
é o volume molar ( ), -
é a pressão (Pa). - Isso vem da definição termodinâmica
e da relação termodinâmica ; a fixa sobra , dividindo por mol obtém-se .
Para as duas fases (diamante e grafite) subtrai-se as equações; integrando entre a pressão de referência
e
dá:
onde
e
.
Se aproximarmos os volumes molares como praticamente constantes (vamos justificar depois), a integral é simplesmente
. Em equilíbrio queremos
. Assim:
Despejando
:
Observação de sinal: como o diamante é mais denso que o grafite,
. Com
(diamante menos estável a 1 atm), o termo
será positivo, aumentando a pressão necessária para atingir o equilíbrio — isso faz sentido físico.
Passo 3
Como obter os volumes molares a partir das densidades (passo a passo didático).
- A relação entre massa molar
(g/mol), densidade (g/cm ) e volume molar (cm /mol) é:
- Usaremos
(massa molar do carbono). - Depois de calcular
em convertemos para usando .
Passo 4
Cálculo dos volumes molares (mostrando contas).
- Volume molar do diamante:
- Volume molar do grafite:
Passo 5
Diferença de volumes molares e conversão para unidades SI.
- Diferença:
- Converter para
:
Passo 6
Aplicar a fórmula do equilíbrio e calcular numericamente
.
-
Dados numéricos usados:
-
(tomado do enunciado em ), -
, -
.
-
-
Usando
fazemos a conta:
Logo
Passo 7
Expressões em unidades usuais e interpretação numérica final.
- Em gigapascais:
- Em atmosferas:
Passo 8
Breve comentário sobre aproximações (se preparar para a prova).
- A aproximação principal foi tratar os volumes molares como constantes (não incluir compressibilidade). Essa é uma boa estimativa inicial porque os volumes molares variam pouco com pressão até algumas GPa, e aqui a conta visa uma ordem de grandeza. Para maior precisão seria necessário integrar
usando compressibilidades ou equações de estado. - O resultado mostra que é necessária uma pressão da ordem de gigapascais (alguns GPa) — ou dezenas de milhares de atmosferas — para tornar o diamante tão estável quanto o grafite a
. Isso explica porque a síntese de diamante requer pressões muito altas.