Cansado de estudar termodinâmica, você tem a ideia de ficar rico fabricando diamante a partir de grafite. Para fazer esse processo a 25^{\circ} \mathrm{C} é necessário aumentar a pressão até que o grafite e o diamante estejam em equilíbrio. Os seguintes dados estão disponíveis a 25^{\circ} \mathrm{C} :
\begin{gathered} \Delta g\left(25^{\circ} \mathrm{C}, 1 \mathrm{~atm}\right)=g_{\text {diamond }}-g_{\text {graphite }}=2866[\mathrm{~J} / \mathrm{mol}] \\\ \rho_{\text {diamond }}=3.51\left[\mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right] \\\ \rho_{\text {graphite }}=2.26\left[\mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right] \end{gathered}
Estime a pressão em que as duas formas de carbono estarão em equilíbrio a 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O problema pede para estimar a pressão em que grafite e diamante estarão em equilíbrio a 25^{\circ}\mathrm{C}. Os dados fornecidos são:
  • \Delta g(25^{\circ}\mathrm{C},1\\ \mathrm{atm}) = g_{\text{diamond}} - g_{\text{graphite}} = 2866\\ [\mathrm{J/mol}].
  • \rho_{\text{diamond}} = 3{,}51\\ [\mathrm{g/cm^{3}}].
  • \rho_{\text{graphite}} = 2{,}26\\ [\mathrm{g/cm^{3}}].
O que se solicita explicitamente: calcular a pressão P_{\mathrm{eq}} (a 25^{\circ}\mathrm{C}) na qual g_{\text{diamond}}(P_{\mathrm{eq}})=g_{\text{graphite}}(P_{\mathrm{eq}}).

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e clara).
  • A energia livre de Gibbs molar g de uma fase, à temperatura constante, varia com a pressão segundo a relação diferencial
\mathrm{d}g = v\,\mathrm{d}P,
onde v é o volume molar da fase (volume por mol). Aqui:
  • g é o potencial químico ou Gibbs molar (J/mol),
  • v é o volume molar ( \mathrm{m^{3}/mol}),
  • P é a pressão (Pa).
  • Isso vem da definição termodinâmica g = \mu e da relação termodinâmica \mathrm{d}G = V\,\mathrm{d}P - S\,\mathrm{d}T; a T fixa sobra \mathrm{d}G = V\,\mathrm{d}P, dividindo por mol obtém-se \mathrm{d}g = v\,\mathrm{d}P.
Para as duas fases (diamante e grafite) subtrai-se as equações; integrando entre a pressão de referência P_0=1\\ \mathrm{atm} e P dá:
\Delta g(P) = \Delta g(P_0) + \int_{P_0}^{P} \Delta v\,\mathrm{d}P,
onde \Delta g = g_{\text{diamond}}-g_{\text{graphite}} e \Delta v = v_{\text{diamond}}-v_{\text{graphite}}.
Se aproximarmos os volumes molares como praticamente constantes (vamos justificar depois), a integral é simplesmente \Delta v\,(P-P_0). Em equilíbrio queremos \Delta g(P_{\mathrm{eq}})=0. Assim:
0 = \Delta g(P_0) + \Delta v\,(P_{\mathrm{eq}}-P_0).
Despejando P_{\mathrm{eq}}:
P_{\mathrm{eq}} = P_0 - \frac{\Delta g(P_0)}{\Delta v}.
Observação de sinal: como o diamante é mais denso que o grafite, \Delta v<0. Com \Delta g(P_0)>0 (diamante menos estável a 1 atm), o termo -\Delta g/\Delta v será positivo, aumentando a pressão necessária para atingir o equilíbrio — isso faz sentido físico.

Passo 3

Como obter os volumes molares a partir das densidades (passo a passo didático).
  • A relação entre massa molar M (g/mol), densidade \rho (g/cm ^3) e volume molar v (cm ^3/mol) é:
v = \frac{M}{\rho}.
  • Usaremos M(\text{C}) = 12{,}01\\ [\mathrm{g/mol}] (massa molar do carbono).
  • Depois de calcular v em [\mathrm{cm^{3}/mol}] convertemos para [\mathrm{m^{3}/mol}] usando 1\\ \mathrm{cm^{3}} = 1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Cálculo dos volumes molares (mostrando contas).
  • Volume molar do diamante:
v_{\text{diamond}} = \frac{12{,}01}{3{,}51} \\ [\mathrm{cm^{3}/mol}] = 3{,}421652\ldots\\ [\mathrm{cm^{3}/mol}].
  • Volume molar do grafite:
v_{\text{graphite}} = \frac{12{,}01}{2{,}26} \\ [\mathrm{cm^{3}/mol}] = 5{,}314159\ldots\\ [\mathrm{cm^{3}/mol}].

Passo 5

Diferença de volumes molares e conversão para unidades SI.
  • Diferença:
\Delta v = v_{\text{diamond}} - v_{\text{graphite}} = 3{,}421652 - 5{,}314159 = -1{,}892507\\ [\mathrm{cm^{3}/mol}].
  • Converter para [\mathrm{m^{3}/mol}]:
\Delta v = -1{,}892507\times10^{-6}\\ [\mathrm{m^{3}/mol}].

Passo 6

Aplicar a fórmula do equilíbrio e calcular numericamente P_{\mathrm{eq}}.
  • Dados numéricos usados:
    • \Delta g(P_0) = 2866\\ [\mathrm{J/mol}] (tomado do enunciado em P_0=1\\ \mathrm{atm}),
    • P_0 = 1\\ \mathrm{atm} = 1{,}01325\times10^{5}\\ [\mathrm{Pa}],
    • \Delta v = -1{,}892507\times10^{-6}\\ [\mathrm{m^{3}/mol}].
  • Usando
P_{\mathrm{eq}} = P_0 - \frac{\Delta g(P_0)}{\Delta v},
fazemos a conta:
\frac{\Delta g(P_0)}{\Delta v} = \frac{2866}{-1{,}892507\times10^{-6}} = -1{,}51405\times10^{9}\\ [\mathrm{Pa}].
Logo
P_{\mathrm{eq}} = 1{,}01325\times10^{5} - (-1{,}51405\times10^{9}) = 1{,}51415\times10^{9}\\ [\mathrm{Pa}].

Passo 7

Expressões em unidades usuais e interpretação numérica final.
  • Em gigapascais:
P_{\mathrm{eq}} \approx 1{,}514\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} = 1{,}514\\ \mathrm{GPa}.
  • Em atmosferas:
P_{\mathrm{eq}} \approx \frac{1{,}51415\times10^{9}}{1{,}01325\times10^{5}} \approx 14950\\ \mathrm{atm}.

Passo 8

Breve comentário sobre aproximações (se preparar para a prova).
  • A aproximação principal foi tratar os volumes molares como constantes (não incluir compressibilidade). Essa é uma boa estimativa inicial porque os volumes molares variam pouco com pressão até algumas GPa, e aqui a conta visa uma ordem de grandeza. Para maior precisão seria necessário integrar \Delta v(P) usando compressibilidades ou equações de estado.
  • O resultado mostra que é necessária uma pressão da ordem de gigapascais (alguns GPa) — ou dezenas de milhares de atmosferas — para tornar o diamante tão estável quanto o grafite a 25^{\circ}\mathrm{C}. Isso explica porque a síntese de diamante requer pressões muito altas.

Resposta

P_{\mathrm{eq}} \approx 1{,}514\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} \approx 1{,}514\\ \mathrm{GPa} \approx 1{,}495\times10^{4}\\ \mathrm{atm}

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