Gás natural numa mistura de 90 \% de metano e 10 \% de etano, em base molar, flui para um compressor a 17,85^{\circ} \mathrm{C} e 200 kPa . Qual seria o mínimo trabalho de compressão necessário para levar cada quilograma de gás a 600 kPa de pressão e qual seria a temperatura final do gás? (V-W 8^{\underline{\text { a }}} ed. 11.44 mod.) (20%)
Passo 1
O enunciado fornece (tomei estes valores diretamente do enunciado):
mistura molar: 90\% metano (\mathrm{CH_4}) e 10\% etano (\mathrm{C_2H_6}), ou seja frações molares \,y_{\mathrm{CH_4}}=0{,}90 e \,y_{\mathrm{C_2H_6}}=0{,}10.
condição de entrada: T_1 = 17{,}85^\circ\mathrm{C} e P_1 = 200\\ \mathrm{kPa}.
condição de saída desejada: P_2 = 600\\ \mathrm{kPa}.
O que se pede:
o trabalho mínimo de compressão necessário por quilograma de gás (ou seja trabalho específico w_{\min} em \mathrm{kJ/kg});
a temperatura final do gás.
Observações/pressupostos que vou usar (com justificativa didática, pois são essenciais para a resolução):
Adoto comportamento de gás ideal para a mistura (pressuposto comum para estes problemas).
O trabalho mínimo para comprimir um gás ideal entre duas pressões é obtido por um processo isotérmico reversível (isotérmico porque, para comprimir sem aumentar a energia interna, deve-se rejeitar calor; entre todos os processos possíveis que levam de P_1 a P_2, o reversível isotérmico dá o menor trabalho de entrada). Por isso vou calcular a compressão isotérmica reversível a T=T_1.
Vou trabalhar com base por unidade de massa (quilograma), então preciso do gás constante específico da mistura R (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}), que se obtém a partir da massa molar média da mistura.
Passo 2
Calcular a massa molar média da mistura \,M_{\text{mix}} (em \mathrm{kg/kmol}). Uso massas molares aproximadas:
\,M_{\mathrm{CH_4}} = 16{,}04\\ \mathrm{kg/kmol},
\,M_{\mathrm{C_2H_6}} = 30{,}07\\ \mathrm{kg/kmol}.
A massa molar média é a média ponderada em base molar:
Calcular a constante específica do gás da mistura R (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}). A constante universal é \,R_u = 8{,}3144621\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}. A constante específica da mistura é
R = \frac{R_u}{M_{\text{mix}}}.
Substituindo:
R = \frac{8{,}3144621}{17{,}443} = 0{,}476748\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\quad(\text{aprox.}).
Passo 4
Explicar e deduzir a fórmula do trabalho isotérmico por unidade de massa. Para um processo isotérmico reversível de gás ideal, o trabalho específico de compressão (trabalho por unidade de massa) é
w_{\min} = \int_{1}^{2} P\,\mathrm{d}v,
onde v é o volume específico (\mathrm{m^3/kg}). Usando a equação do gás ideal em forma específica P v = R T (onde R é a constante específica e T é a temperatura absoluta), obtemos P = \dfrac{R T}{v}. Substituindo no integral e integrando de v_1 a v_2:
w_{\min} = \int_{v_1}^{v_2} \frac{R T}{v}\,\mathrm{d}v = R T \ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
Mas para gás ideal em isoterma v é inversamente proporcional a P, logo \dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{P_1}{P_2}. Assim
w_{\min} = R T \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Aqui:
w_{\min} é o trabalho mínimo (positiva a entrada de trabalho) em \mathrm{kJ/kg},
R é a constante específica do gás em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
T é a temperatura absoluta constante durante a isoterma (em K),
P_1,P_2 são pressões iniciais e finais.
Agora aplico essa fórmula com os números do problema. Primeiro converto a temperatura inicial para Kelvin:
Comentário pedagógico rápido: se a compressão fosse adiabática reversível (isentropica) a temperatura final seria maior e o trabalho necessário também seria maior. Por isso o isotérmico reversível dá o mínimo trabalho (é o melhor caso possível porque remove calor continuamente mantendo T baixo).
Passo 5
Temperatura final para o processo isotérmico é igual à temperatura inicial, pois por definição isotérmico mantém T constante. Assim: