Gás natural numa mistura de 90 \% de metano e 10 \% de etano, em base molar, flui para um compressor a 17,85^{\circ} \mathrm{C} e 200 kPa . Qual seria o mínimo trabalho de compressão necessário para levar cada quilograma de gás a 600 kPa de pressão e qual seria a temperatura final do gás? (V-W 8^{\underline{\text { a }}} ed. 11.44 mod.) (20%)

Passo 1

O enunciado fornece (tomei estes valores diretamente do enunciado):
  • mistura molar: 90\% metano ( \mathrm{CH_4}) e 10\% etano ( \mathrm{C_2H_6}), ou seja frações molares \,y_{\mathrm{CH_4}}=0{,}90 e \,y_{\mathrm{C_2H_6}}=0{,}10.
  • condição de entrada: T_1 = 17{,}85^\circ\mathrm{C} e P_1 = 200\\ \mathrm{kPa}.
  • condição de saída desejada: P_2 = 600\\ \mathrm{kPa}.
    O que se pede:
  1. o trabalho mínimo de compressão necessário por quilograma de gás (ou seja trabalho específico w_{\min} em \mathrm{kJ/kg});
  2. a temperatura final do gás.
    Observações/pressupostos que vou usar (com justificativa didática, pois são essenciais para a resolução):
  • Adoto comportamento de gás ideal para a mistura (pressuposto comum para estes problemas).
  • O trabalho mínimo para comprimir um gás ideal entre duas pressões é obtido por um processo isotérmico reversível (isotérmico porque, para comprimir sem aumentar a energia interna, deve-se rejeitar calor; entre todos os processos possíveis que levam de P_1 a P_2, o reversível isotérmico dá o menor trabalho de entrada). Por isso vou calcular a compressão isotérmica reversível a T=T_1.
  • Vou trabalhar com base por unidade de massa (quilograma), então preciso do gás constante específico da mistura R (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}), que se obtém a partir da massa molar média da mistura.

Passo 2

Calcular a massa molar média da mistura \,M_{\text{mix}} (em \mathrm{kg/kmol}). Uso massas molares aproximadas:
  • \,M_{\mathrm{CH_4}} = 16{,}04\\ \mathrm{kg/kmol},
  • \,M_{\mathrm{C_2H_6}} = 30{,}07\\ \mathrm{kg/kmol}.
    A massa molar média é a média ponderada em base molar:
M_{\text{mix}} = y_{\mathrm{CH_4}}M_{\mathrm{CH_4}} + y_{\mathrm{C_2H_6}}M_{\mathrm{C_2H_6}}.
Substituindo:
M_{\text{mix}} = 0{,}90\cdot16{,}04 + 0{,}10\cdot30{,}07 = 14{,}436 + 3{,}007 = 17{,}443\\ \mathrm{kg/kmol}.

Passo 3

Calcular a constante específica do gás da mistura R (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}). A constante universal é \,R_u = 8{,}3144621\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}. A constante específica da mistura é
R = \frac{R_u}{M_{\text{mix}}}.
Substituindo:
R = \frac{8{,}3144621}{17{,}443} = 0{,}476748\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Explicar e deduzir a fórmula do trabalho isotérmico por unidade de massa. Para um processo isotérmico reversível de gás ideal, o trabalho específico de compressão (trabalho por unidade de massa) é
w_{\min} = \int_{1}^{2} P\,\mathrm{d}v,
onde v é o volume específico ( \mathrm{m^3/kg}). Usando a equação do gás ideal em forma específica P v = R T (onde R é a constante específica e T é a temperatura absoluta), obtemos P = \dfrac{R T}{v}. Substituindo no integral e integrando de v_1 a v_2:
w_{\min} = \int_{v_1}^{v_2} \frac{R T}{v}\,\mathrm{d}v = R T \ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
Mas para gás ideal em isoterma v é inversamente proporcional a P, logo \dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{P_1}{P_2}. Assim
w_{\min} = R T \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Aqui:
  • w_{\min} é o trabalho mínimo (positiva a entrada de trabalho) em \mathrm{kJ/kg},
  • R é a constante específica do gás em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
  • T é a temperatura absoluta constante durante a isoterma (em K),
  • P_1,P_2 são pressões iniciais e finais.
    Agora aplico essa fórmula com os números do problema. Primeiro converto a temperatura inicial para Kelvin:
T_1 = 17{,}85^\circ\mathrm{C} = 17{,}85 + 273{,}15 = 291{,}00\\ \mathrm{K}.
Calculo \ln(P_2/P_1):
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln\!\left(\frac{600}{200}\right)=\ln(3)=1{,}098612289.
Agora o trabalho mínimo por kg:
w_{\min} = R\,T_1\,\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = 0{,}476748\cdot291{,}00\cdot1{,}098612289.
Faço as contas passo a passo:
0{,}476748\cdot291{,}00 = 138{,}7459\\ \mathrm{kJ/kg},
w_{\min} = 138{,}7459\cdot1{,}098612289 = 152{,}4495\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando razoavelmente: w_{\min}\approx 152{,}45\\ \mathrm{kJ/kg}.
Comentário pedagógico rápido: se a compressão fosse adiabática reversível (isentropica) a temperatura final seria maior e o trabalho necessário também seria maior. Por isso o isotérmico reversível dá o mínimo trabalho (é o melhor caso possível porque remove calor continuamente mantendo T baixo).

Passo 5

Temperatura final para o processo isotérmico é igual à temperatura inicial, pois por definição isotérmico mantém T constante. Assim:
T_2 = T_1 = 291{,}00\\ \mathrm{K} = 17{,}85^\circ\mathrm{C}.
Pequena palavra de incentivo: deu trabalho, mas chegamos lá — a conta ficou simples usando a fórmula da isoterma e a constante específica da mistura.

Resposta

w_{\min}=152{,}45\\ \mathrm{kJ/kg}\n
T_2=17{,}85^\circ\mathrm{C}

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