O gás nitrogênio é comprimido a partir de 80 kPa e 27^{\circ} \mathrm{C} para 480 kPa por um compressor de 10 kW . Considere \mathrm{R}=0.297 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e k =1.4 para o nitrogênio.
Determine a taxa de fluxo de massa de nitrogênio através do compressor, assumindo que o processo de compressão seja ideal politrópico de duas fases com \mathrm{n}=1.3.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a taxa de fluxo de massa de nitrogênio ( \dot{m}) que atravessa o compressor.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Pressão inicial: P_1 = 80\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura inicial: T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 300\\ \mathrm{K}.
  • Pressão final: P_2 = 480\\ \mathrm{kPa}.
  • Potência do compressor: \dot{W} = 10\\ \mathrm{kW} (ou 10\\ \mathrm{kJ/s}).
  • Constante do gás: R = 0{,}297\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Exponente politrópico: n = 1{,}3.
  • Constante adiabática k=1{,}4 fornecida (não é necessária para o cálculo quando n é dado).
Resumo objetivo: usar o processo politrópico \,P V^{n}=\text{constante}\, com n=1{,}3 para calcular o trabalho específico requerido ao comprimir o gás e, a partir da potência disponível, obter \dot{m}.

Passo 2

Relação entre temperaturas em um processo politrópico para gás ideal.
Explicação conceitual passo a passo:
  • Para um gás ideal vale \,P v = R T\,, onde v é o volume específico (m^3/kg), R é a constante do gás e T é a temperatura absoluta.
  • Se o processo é politrópico com expoente n, então \,P v^{n}=\text{constante}\,.
  • A partir disso podemos relacionar as condições 1 e 2:
\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{n}.
  • Usando v = \dfrac{R T}{P} e eliminando v, obtém-se a relação entre temperaturas:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}.
Aqui expliquei cada variável:
  • P_1,P_2: pressões nos estados 1 e 2.
  • v_1,v_2: volumes específicos nos estados 1 e 2.
  • T_1,T_2: temperaturas absolutas (K).
  • n: expoente politrópico (dado).

Passo 3

Cálculo de T_2 usando a relação acima.
  • Primeiro calcule a razão de pressões (fator de compressão):
\frac{P_2}{P_1}=\frac{480}{80}=6.
  • Calcule o expoente \dfrac{n-1}{n}:
\frac{n-1}{n}=\frac{1{,}3-1}{1{,}3}=\frac{0{,}3}{1{,}3}=\frac{3}{13}\approx0{,}230769.
  • Agora:
T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}} =300\cdot 6^{0{,}230769}.
  • Avaliando a potência:
6^{0{,}230769}\approx 1{,}5122,
logo
T_2 \approx 300\cdot 1{,}5122 = 453{,}66\\ \mathrm{K}.
Pequeno comentário de exame: calcular 6^{0{,}230769} pode ser feito usando logaritmos ou uma calculadora; em prova sem calculadora, reconhecer frações simples ajuda (aqui é aceitável usar aproximação).

Passo 4

Derivação do trabalho específico requerido (por unidade de massa) para compressão politrópica.
Explicação didática:
  • O trabalho realizado pelo gás durante uma transformação é w_{\text{by}}=\displaystyle\int_{v_1}^{v_2} P\,dv.
  • Para o processo politrópico P=C v^{-n}, integra-se e obtém-se
w_{\text{by}}=\frac{P_2 v_2 - P_1 v_1}{1-n}.
  • Como P v = R T, temos P_2 v_2 - P_1 v_1 = R(T_2 - T_1). Logo
w_{\text{by}}=\frac{R\,(T_2-T_1)}{1-n}.
  • O trabalho requerido pelo compressor (trabalho de entrada por unidade de massa) é o negativo do trabalho feito pelo gás:
w_{\text{in}} = -w_{\text{by}} = \frac{R\,(T_2-T_1)}{n-1}.
  • Alternativamente, substituindo T_2 = T_1\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}, pode-se escrever
w_{\text{in}}=\frac{R\,T_1}{n-1}\left[\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}-1\right].
Aqui cada símbolo:
  • w_{\text{in}}: trabalho por unidade de massa que o compressor precisa fornecer (kJ/kg).
  • R: constante do gás (kJ/kg·K).
  • T_1,T_2: temperaturas (K).
  • n: expoente politrópico.

Passo 5

Cálculo numérico do trabalho específico w_{\text{in}}.
Usando a forma com T_2-T_1:
  • Primeiro calcule \Delta T = T_2 - T_1 = 453{,}66 - 300 = 153{,}66\\ \mathrm{K}.
  • Então
w_{\text{in}} = \frac{R\,(T_2-T_1)}{n-1} = \frac{0{,}297\cdot 153{,}66}{1{,}3-1}.
  • Como 1{,}3-1 = 0{,}3,
0{,}297\cdot 153{,}66 = 45{,}637\\ \mathrm{kJ/kg}\\ (\text{aprox.})
e
w_{\text{in}} \approx \frac{45{,}637}{0{,}3} = 152{,}123\\ \mathrm{kJ/kg}.
Verificação rápida usando a forma alternativa:
\frac{R T_1}{n-1}\left[6^{0{,}230769}-1\right] = \frac{0{,}297\cdot 300}{0{,}3}(1{,}5122-1) = 297\cdot 0{,}5122 \approx 152{,}12\\ \mathrm{kJ/kg},
coincidindo com o valor acima (boa checagem).

Passo 6

Cálculo da taxa de massa \dot{m} usando a potência disponível.
  • Potência fornecida ao compressor: \dot{W} = 10\\ \mathrm{kW} = 10\\ \mathrm{kJ/s}.
  • Relação entre potência e trabalho específico:
\dot{W} = \dot{m}\,w_{\text{in}} \quad\Longrightarrow\quad \dot{m} = \frac{\dot{W}}{w_{\text{in}}}.
  • Substituindo valores:
\dot{m} = \frac{10\\ \mathrm{kJ/s}}{152{,}123\\ \mathrm{kJ/kg}} \approx 0{,}06574\\ \mathrm{kg/s}.
  • Em unidades mais usuais:
\dot{m} \approx 0{,}0657\\ \mathrm{kg/s} \approx 3{,}94\\ \mathrm{kg/h}.
Comentário prático: em provas, normalmente basta apresentar \dot{m} em \mathrm{kg/s} com 2–3 algarismos significativos, por exemplo 0{,}0657\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

0{,}0657\\ \mathrm{kg/s}

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