O gás nitrogênio é comprimido a partir de 80 kPa e 27^{\circ} \mathrm{C} para 480 kPa por um compressor de 10 kW . Considere \mathrm{R}=0.297 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e k =1.4 para o nitrogênio.
Determine a taxa de fluxo de massa de nitrogênio através do compressor, assumindo que o processo de compressão seja isotérmico,

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Pressão inicial \,p_1=80\\ \text{kPa}.
    • Pressão final \,p_2=480\\ \text{kPa}.
    • Temperatura inicial (e do processo, já que é isotérmico) \,T=27^\circ\mathrm{C}=300\\ \text{K}.
    • Potência do compressor \,P=10\\ \text{kW} (energia por unidade de tempo fornecida ao fluido).
    • Constante do gás para o nitrogênio \,R=0{,}297\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
    • Constante adiabática k=1{,}4 (fornecida, mas o enunciado diz que o processo é isotérmico).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a taxa de fluxo de massa de nitrogênio através do compressor, ou seja, \dot{m} em \text{kg}\,\text{s}^{-1} (massa por segundo) — assumindo compressão isotérmica.

Passo 2

Entender a fórmula que liga potência, trabalho específico e massa.
  • Conceito chave: em um processo isotérmico reversível de um gás ideal, a energia interna não muda ( \Delta u=0), então todo calor trocado vai em forma de trabalho. O trabalho específico (por unidade de massa) realizado sobre o gás ao comprimi-lo isotermicamente de \,p_1 para \,p_2 tem magnitude
w_{\text{on}} = R\,T\,\ln\!\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right).
  • Explicação da fórmula (passo a passo e bem didático):
    • Para um gás ideal vale \,p v = R T por unidade de massa, onde p é pressão, v volume específico ( \text{m}^3/\text{kg}), R é a constante do gás e T a temperatura absoluta.
    • O trabalho específico realizado pelo gás durante uma transformação reversível é
    w_{\text{by}}=\int_{v_1}^{v_2} p\,dv.
    • Substituindo p=\dfrac{R T}{v} (isotérmico, T constante):
    w_{\text{by}} = R T \int_{v_1}^{v_2}\dfrac{dv}{v} = R T \ln\!\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right).
    • Como para gás ideal v é inversamente proporcional a p, tem-se \dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{p_1}{p_2}. Logo
    w_{\text{by}} = R T \ln\!\left(\dfrac{p_1}{p_2}\right) = -R T \ln\!\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right).
    • O trabalho realizado sobre o gás (entrada de trabalho necessária ao compressor) é w_{\text{on}} = -w_{\text{by}} = R T \ln\!\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right). Esse w_{\text{on}} é positivo quando p_2>p_1.
  • Relação entre potência, trabalho específico e vazão mássica:
P = \dot{m}\,w_{\text{on}} \quad\Rightarrow\quad \dot{m} = \dfrac{P}{w_{\text{on}}}.
  • Observação útil: k (constante adiabática) não é usada porque o processo é isotérmico (não adiabático).

Passo 3

Calcular passo a passo os termos numéricos da fórmula.
  • Primeiro, razão de pressões:
\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{480}{80} = 6.
  • Logaritmo natural:
\ln\!\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right) = \ln(6) \approx 1{,}791759.
  • Produto \,R T:
R\,T = 0{,}297\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}\times 300\\ \text{K} = 89{,}1\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}.
  • Trabalho específico (entrada de trabalho por kg):
w_{\text{on}} = R T \ln\!\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right) = 89{,}1 \times 1{,}791759 \approx 159{,}66\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}.
(cheque de unidades: R em \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1} vezes T em \text{K} \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}; multiplicando por número adimensional mantém \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}.)

Passo 4

Calcular a vazão mássica \dot{m} a partir da potência fornecida.
  • Converter potência para as mesmas unidades de energia por tempo: P=10\\ \text{kW}=10\\ \text{kJ}\,\text{s}^{-1}.
  • Aplicar \dot{m} = \dfrac{P}{w_{\text{on}}}:
\dot{m} = \dfrac{10\\ \text{kJ}\,\text{s}^{-1}}{159{,}66\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}} \approx 0{,}06263\\ \text{kg}\,\text{s}^{-1}.
  • Resultado arredondado com três algarismos significativos:
\dot{m} \approx 0{,}0626\\ \text{kg}\,\text{s}^{-1}.

Passo 5

Interpretação rápida e verificação final (estou contigo — é normal ficar inseguro).
  • Verificação de ordem de grandeza: trabalho específico de cerca de 160\\ \text{kJ/kg} para uma compressão isotérmica de fator 6 a 300\\ \text{K} faz sentido; com 10\\ \text{kW} isso corresponde a pouca massa por segundo, ordem 10^{-2}\\ \text{kg/s}. Portanto o valor é razoável.
  • Lembrete: se o processo não fosse isotérmico (por exemplo adiabático), a fórmula seria diferente e envolveria k; aqui, como o enunciado assumiu isotérmico, usamos a fórmula mostrada.

Resposta

\dot{m}=0{,}0626\\ \text{kg}\,\text{s}^{-1}

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