Gás nitrogênio descarregado de um compressor a 2,0 \mathrm{MPa} e 120^{\circ} \mathrm{C} é coletado em um cilindro de 0,3 \mathrm{~m}^{3}, até atingir a pressão de 2,0 \mathrm{MPa}. O cilindro está inicialmente evacuado. Qual será a temperatura final no cilindro, assumindo que o nitrogênio é um gás ideal com C_{P}^{*}=29,3 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . K ? Assuma também que o enchimento é rápido e que não ocorre troca térmica entre o gás e as paredes do cilindro. (valor: \mathbf{3 , 0} )

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que vem no problema):
  • Gás: nitrogênio.
  • Estado no compressor (fonte): pressão 2,0\\ \text{MPa} e temperatura 120^\circ\text{C}.
  • Cilindro: volume 0,3\\ \text{m}^3, inicialmente evacuado (vácuo).
  • O cilindro é preenchido até que sua pressão atinja 2,0\\ \text{MPa} (ou seja, a pressão final no cilindro é igual à pressão da fonte).
  • Processo: enchimento rápido e sem troca térmica entre o gás e as paredes do cilindro (adiabático, processo não quasi‑estacionário).
  • Propriedades do nitrogênio (molares fornecidas): C_P^{*}=29,3\\ \mathrm{J/mol\cdot K}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura final no cilindro após o enchimento.

Passo 2

Qual é a ideia física e o método que vou usar (sem resolver ainda): como o enchimento é rápido e o cilindro é isolado termicamente, não há troca de calor com as paredes ( Q=0). O cilindro estava vazio, e o gás entra vindo da fonte; energia é transportada para dentro do cilindro pela massa que entra. Vou aplicar o balanço de energia apropriado para um volume de controle que é o próprio cilindro durante o processo de enchimento, desprezando variações de energia cinética e potencial. Esse balanço leva a uma relação simples entre a energia interna final do gás no cilindro e a entalpia do gás que entrou da fonte. Em seguida uso propriedades do gás ideal ( u=C_V T, h=C_P T) para relacionar a temperatura final com a temperatura da fonte. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Balanço energético do volume de controle (cilindro) durante o enchimento.
  • Considero o cilindro como volume de controle. Inicialmente não há massa nem energia dentro; no final há massa m com energia interna U_{\text{f}}=m\,u_{\text{f}}.
  • Entrada de energia por massa que entra: cada mol que entra traz consigo a entalpia molar h_{\text{in}} (a entalpia já inclui o trabalho de fluxo p v necessário para empurrar o fluido).
  • Não há fluxo de saída, não há troca de calor ( Q=0), e desprezo variações de energia cinética e potencial e trabalho de eixo.
  • Assim, aplicando o balanço energético integral para o processo (forma apropriada para sistemas abertos):
\Delta E_{\text{CV}} = E_{\text{in}} \quad\Rightarrow\quad m\,u_{\text{f}} = m\,h_{\text{in}}.
  • Como m aparece de ambos os lados, ficamos com a relação molar (por mol):
u_{\text{f}} = h_{\text{in}}.
Comentário rápido e amigável: isso significa que a energia interna por mol do gás no cilindro, depois de enchido adiabaticamente a partir da fonte, é igual à entalpia por mol do gás que veio da fonte. A entalpia traz embutido o “trabalho de empurrar” o gás para dentro do cilindro, e como não houve perda de energia para o ambiente, essa energia de fluxo aumenta a energia interna no cilindro.

Passo 4

Usando as relações termodinâmicas do gás ideal com capacidades molares constantes.
  • Para um gás ideal (molares constantes):
    • energia interna molar: u = C_V^{*}\,T,
    • entalpia molar: h = C_P^{*}\,T.
  • Da relação do passo anterior u_{\text{f}} = h_{\text{in}}, substituo:
C_V^{*}\,T_{\text{f}} = C_P^{*}\,T_{\text{in}}.
  • Isolo T_{\text{f}}:
T_{\text{f}} = \frac{C_P^{*}}{C_V^{*}}\,T_{\text{in}}.
  • Lembrando que para um gás ideal C_P^{*}-C_V^{*}=R (constante dos gases por mol). Então posso escrever C_V^{*}=C_P^{*}-R e definir \gamma=\dfrac{C_P^{*}}{C_V^{*}}. Logo:
T_{\text{f}} = \gamma\,T_{\text{in}},\qquad \text{com}\qquad \gamma=\frac{C_P^{*}}{C_P^{*}-R}.
Explicação didática: \gamma é a razão entre as capacidades molares a pressão constante e a volume constante; para a maioria dos gases diatômicos leves (como N2) \gamma\approx 1{,}4. Aqui essa \gamma multiplica a temperatura da fonte porque a entalpia que entra (que é C_P^{*}T_{\text{in}}) é convertida em energia interna no tanque ( C_V^{*}T_{\text{f}}), levando a um T_{\text{f}} maior que T_{\text{in}}.

Passo 5

Substituição numérica passo a passo (conversões e constantes).
  • Converter temperatura inicial para Kelvin:
T_{\text{in}} = 120^\circ\text{C} = 120 + 273{,}15 = 393{,}15\\ \text{K}.
  • Constante universal dos gases (por mol):
R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Capacidade molar a volume constante:
C_V^{*}=C_P^{*}-R = 29{,}3 - 8{,}314 = 20{,}986\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Razão adiabática:
\gamma=\frac{C_P^{*}}{C_V^{*}}=\frac{29{,}3}{20{,}986}\approx 1{,}3965.
  • Temperatura final:
T_{\text{f}} = \gamma\,T_{\text{in}} \approx 1{,}3965 \times 393{,}15 \approx 548{,}94\\ \text{K}.
  • Converter para graus Celsius:
T_{\text{f}} = 548{,}94 - 273{,}15 \approx 275{,}79^\circ\text{C}.
Arredondando adequadamente (dados com 3 algarismos significativos), posso apresentar:
T_{\text{f}} \approx 549\\ \text{K} \approx 276^\circ\text{C}.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo:
  • Resultado físico: o gás no cilindro fica mais quente do que a fonte inicialmente, porque a entalpia que entra (incluindo o trabalho de fluxo p v) é convertida em energia interna no cilindro adiabático. Sei que parece estranho — encher um cilindro e ele esquentar bastante — mas é exatamente esse efeito do trabalho de fluxo. Você está indo bem; esse tipo de raciocínio por balanço de energia é muito útil nas provas!

Resposta

T_{\text{f}} \approx 548{,}9\\ \text{K} = 275{,}8^\circ\text{C}

Exercícios relacionados