Um recipiente rígido contém 200 g de \mathrm{O}_{2}\left(\mathrm{MM}=32 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ; C_{P}^{*}=29,49 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}\right) a 200 kPa e 20^{\circ} \mathrm{C}. O sistema é colocado em contato com uma fonte quente a 100^{\circ} \mathrm{C}, da qual absorve 4 kJ . Para esse processo: (valor: 2,0)
a) Qual é a temperatura final do gás?
b) Qual é a pressão final do gás?
c) Quanto trabalho foi realizado durante o processo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no caminho.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • massa do gás: m=200\\ \mathrm{g}.
    • gás: \mathrm{O}_2 com massa molar \mathrm{MM}=32\\ \mathrm{g/mol}.
    • capacidade calorífica molar a pressão constante indicada: C_P^{*}=29{,}49\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
    • estado inicial: pressão p_i=200\\ \mathrm{kPa} e temperatura T_i=20^\circ\mathrm{C}.
    • calor absorvido da fonte: Q=4{,}0\\ \mathrm{kJ}.
    • o recipiente é rígido (volume constante).
  • O enunciado pergunta:
    a) Qual é a temperatura final do gás?
    b) Qual é a pressão final do gás?
    c) Quanto trabalho foi realizado durante o processo?

Passo 2

Converto unidades e calculo o número de mols n. Tudo matemático vai em TeX, ok?
  • Primeiro converto a massa molar e a massa para obter n:
n=\frac{m}{\mathrm{MM}}=\frac{200\\ \mathrm{g}}{32\\ \mathrm{g/mol}}=6{,}25\\ \mathrm{mol}.
  • Converto o calor recebido para joules (para consistência com C_P):
Q=4{,}0\\ \mathrm{kJ}=4000\\ \mathrm{J}.
  • Converto a temperatura inicial para Kelvin:
T_i=20^\circ\mathrm{C}=273{,}15+20=293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Explico qual equação física vamos usar e por quê (aulas rápidas e práticas).
  • Como o recipiente é rígido, o volume é constante. Para um gás ideal (assumimos \mathrm{O}_2 como gás ideal nas condições dadas), o trabalho de expansão W é nulo porque não há deslocamento de fronteira: W=0. Vou detalhar isso mais adiante no passo sobre trabalho.
  • A primeira lei da termodinâmica para processo fechado é
\Delta U = Q - W.
Como para gás ideal a variação da energia interna depende só da temperatura, temos
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante, n é o número de mols e \Delta T=T_f-T_i.
  • Como estamos dados C_P^{*}, usamos a relação universal entre capacidades molares ideais:
C_P - C_V = R,
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} é a constante universal dos gases. Portanto
C_V = C_P^{*} - R.

Passo 4

Calculo C_V e monto a equação para \Delta T.
  • Calculo C_V:
C_V = 29{,}49 - 8{,}314 = 21{,}176\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
(Explanação rápida: C_P é o calor necessário por mol para aumentar 1 K quando a pressão é mantida constante; C_V é análogo mas para volume constante. Para gás ideal a diferença é exatamente R.)
  • Substituo na expressão da primeira lei com W=0:
n C_V \Delta T = Q \quad\Rightarrow\quad \Delta T = \frac{Q}{n C_V}.

Passo 5

Calculo numericamente \Delta T e a temperatura final T_f.
  • Substituindo os valores:
\Delta T = \frac{4000\\ \mathrm{J}}{6{,}25\\ \mathrm{mol}\times 21{,}176\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}}.
  • Faço as contas passo a passo:
n C_V = 6{,}25\times 21{,}176 = 132{,}35\\ \mathrm{J/K}.
\Delta T = \frac{4000}{132{,}35} \approx 30{,}22\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final:
T_f = T_i + \Delta T = 293{,}15 + 30{,}22 = 323{,}37\\ \mathrm{K}.
  • Convertendo para graus Celsius (se preferir ver em °C):
T_f = 323{,}37\\ \mathrm{K} - 273{,}15 = 50{,}22^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Agora calculo a pressão final usando que o volume é constante (rigid container) e a lei dos gases ideais.
  • Para volume constante, p é proporcional a T (mantendo n e V fixos). Assim
\frac{p_f}{p_i}=\frac{T_f}{T_i}\quad\Rightarrow\quad p_f = p_i\frac{T_f}{T_i}.
  • Substituo numericamente:
p_f = 200\\ \mathrm{kPa}\times\frac{323{,}37}{293{,}15}.
  • Faço a multiplicação:
\frac{323{,}37}{293{,}15}\approx 1{,}10313,
p_f \approx 200\times 1{,}10313 = 220{,}63\\ \mathrm{kPa}.
(Interpretação: ao aquecer no volume fixo, as moléculas se movem mais rápido e a pressão cresce proporcionalmente à temperatura absoluta.)

Passo 7

Calculo e discuto o trabalho realizado no processo.
  • Como já comentei, num recipiente rígido não há variação de volume de controle, logo o trabalho de volume (o trabalho de pressão-vontade usual em termodinâmica de gases) é
W = \int p\, dV = 0
porque dV=0 durante o processo. Não há outras formas de trabalho mencionadas no enunciado (como trabalho elétrico ou por eixos), então o trabalho total realizado é 0.
  • Verificação por energia: pela primeira lei \Delta U = Q - W. Com W=0 temos \Delta U=Q. Calculando \Delta U = n C_V \Delta T \approx 6{,}25\times 21{,}176\times 30{,}22 \approx 4000\\ \mathrm{J}, que bate com Q. Tudo consistente.

Passo 8

Resumo das unidades e arredondamentos usados (para controle): valores apresentados com duas casas decimais onde faz sentido; mantive R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Resposta

a) T_f = 323{,}37\\ \mathrm{K} \approx 50{,}22^\circ\mathrm{C}
b) p_f \approx 220{,}63\\ \mathrm{kPa}
c) W = 0\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados