(UECE) Uma placa quadrada e homogênea é feita de um material cujo coeficiente superficial de dilatação é \beta=1,6 \cdot 10^{-4} /{ }^{\circ} \mathrm{C}. Qual é o acréscimo de temperatura, em graus Celsius, necessário para que a placa tenha um aumento de 10 \% em sua área?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado: coeficiente superficial de dilatação térmica da placa \beta = 1,6\cdot10^{-4}\,/^{\circ}\mathrm{C}.
  • Dado: a placa é quadrada e homogênea (isso garante expansão igual nas duas direções do plano).
  • Pedido: determinar o acréscimo de temperatura \Delta T (em graus Celsius) necessário para que a área aumente 10\%, ou seja, para que \dfrac{\Delta A}{A}=0,10.
As quantidades que usaremos:
  • \Delta A = variação da área;
  • A = área inicial;
  • \Delta T = variação de temperatura que queremos achar;
  • \beta = coeficiente superficial (fornecido).

Passo 2

Entendendo o que é o coeficiente superficial e por que ele aparece na relação direta entre variação de área e variação de temperatura.
  • Definição prática (linearizada): o coeficiente superficial \beta é (aproximadamente) a variação relativa da área por unidade de temperatura. Em fórmula,
\frac{\Delta A}{A} \approx \beta\,\Delta T.
Aqui \Delta A/A é a fração de aumento da área quando a temperatura muda \Delta T; \beta tem unidades /{^\circ}\mathrm{C}.
  • Origem dessa relação (derivação rápida e didática):
    • Seja L o lado do quadrado à temperatura inicial. Após aumento de temperatura \Delta T, o lado cresce para
    L' = L\,(1+\alpha\,\Delta T),onde \alpha é o coeficiente linear de dilatação (variação relativa do comprimento por grau).
    • A área inicial é A=L^2 e a nova área é
    A' = L'^2 = L^2(1+\alpha\Delta T)^2.
    • A variação relativa da área é
    \frac{\Delta A}{A} = \frac{A'-A}{A} = (1+\alpha\Delta T)^2 - 1 = 2\alpha\Delta T + (\alpha\Delta T)^2.
    • Para variações pequenas de comprimento, o termo quadrático (\alpha\Delta T)^2 é desprezível, ficando
    \frac{\Delta A}{A} \approx 2\alpha\Delta T.
    • Define-se então \beta = 2\alpha, o que nos dá a relação usada:
    \frac{\Delta A}{A} \approx \beta\,\Delta T.Nesta expressão:
    • \beta é o coeficiente superficial fornecido;
    • \alpha é o coeficiente linear (não foi fornecido, mas \alpha=\beta/2 se necessário).
Observação: a aproximação linear é muito usada e adequada quando \alpha\Delta T não é muito grande; depois eu faço uma checagem da consistência numérica.

Passo 3

Aplicando a relação direta para resolver o problema.
Partimos da fórmula linearizada:
\frac{\Delta A}{A} = \beta\,\Delta T.
Queremos \dfrac{\Delta A}{A}=0,10, logo
\Delta T = \frac{\Delta A / A}{\beta}.
Substituindo os números (colocando-os em notação científica para manter a clareza):
\Delta T = \frac{0,10}{1,6\cdot10^{-4}}.
Calcule passo a passo:
\frac{0,10}{1,6\cdot10^{-4}} = \frac{1\cdot10^{-1}}{1,6\cdot10^{-4}} = \frac{1}{1,6}\cdot10^{3} = 0,625\cdot10^{3}=625.
Portanto obtemos \Delta T = 625 (em unidades de ^\circ\mathrm{C}).

Passo 4

Verificação rápida da aproximação e comentário didático.
  • Se quisermos ver quão boa é a aproximação linear, calculamos \alpha=\beta/2 = 0,8\cdot10^{-4}=8\cdot10^{-5}\,/^{\circ}\mathrm{C}.
  • Então \alpha\Delta T = 8\cdot10^{-5}\times625 = 0,05. O termo quadrático é (\alpha\Delta T)^2 = 0,05^2 = 0,0025, ou seja 0{,}25\% da área total, mas em comparação ao aumento pedido 0{,}10 (10%) esse termo é cerca de 2{,}5\% do aumento — pequeno, mas não nulo.
  • Solução exata (sem desprezar o termo quadrático) partiria de
(1+\alpha\Delta T)^2 = 1{,}10\quad\Rightarrow\quad 1+\alpha\Delta T = \sqrt{1{,}10},
portanto
\Delta T = \frac{\sqrt{1{,}10}-1}{\alpha}\approx \frac{0{,}0488088}{8\cdot10^{-5}}\approx610{,}1^\circ\mathrm{C}.
  • Conclusão da verificação: usando a definição direta com \beta (aproximação linear) obtemos \Delta T=625^\circ\mathrm{C}; a solução exata pela relação com \alpha \approx610{,}1^\circ\mathrm{C}. A diferença é pequena (cerca de 2{,}4\%), o que confirma que a aproximação linear com \beta é razoável e normalmente aceita nesse tipo de exercício escolar, especialmente porque o enunciado forneceu diretamente \beta.

Passo 5

Resumo final e incentivo: usando a relação direta entre variação relativa de área e coeficiente superficial, achamos que é preciso aumentar a temperatura em 625^\circ\mathrm{C} para obter um aumento de 10\% na área da placa. Sei que o número parece grande — é normal; materiais metálicos têm coeficientes muito pequenos, então grandes aumentos de temperatura produzem poucas mudanças de dimensão. Força aí, você já entendeu o raciocínio e pode aplicar a mesma ideia a outros problemas parecidos!

Resposta

625^\circ\mathrm{C}

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