(UECE) Uma placa quadrada e homogênea é feita de um material cujo coeficiente superficial de dilatação é
. Qual é o acréscimo de temperatura, em graus Celsius, necessário para que a placa tenha um aumento de
em sua área?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Dado: coeficiente superficial de dilatação térmica da placa
. - Dado: a placa é quadrada e homogênea (isso garante expansão igual nas duas direções do plano).
- Pedido: determinar o acréscimo de temperatura
(em graus Celsius) necessário para que a área aumente , ou seja, para que .
As quantidades que usaremos:
-
= variação da área; -
= área inicial; -
= variação de temperatura que queremos achar; -
= coeficiente superficial (fornecido).
Passo 2
Entendendo o que é o coeficiente superficial e por que ele aparece na relação direta entre variação de área e variação de temperatura.
- Definição prática (linearizada): o coeficiente superficial
é (aproximadamente) a variação relativa da área por unidade de temperatura. Em fórmula,
Aqui
é a fração de aumento da área quando a temperatura muda
;
tem unidades
.
- Origem dessa relação (derivação rápida e didática):
- Seja
o lado do quadrado à temperatura inicial. Após aumento de temperatura , o lado cresce para
onde é o coeficiente linear de dilatação (variação relativa do comprimento por grau). - A área inicial é
e a nova área é
- A variação relativa da área é
- Para variações pequenas de comprimento, o termo quadrático
é desprezível, ficando
- Define-se então
, o que nos dá a relação usada:
Nesta expressão: -
é o coeficiente superficial fornecido; -
é o coeficiente linear (não foi fornecido, mas se necessário).
- Seja
Observação: a aproximação linear é muito usada e adequada quando
não é muito grande; depois eu faço uma checagem da consistência numérica.
Passo 3
Aplicando a relação direta para resolver o problema.
Partimos da fórmula linearizada:
Queremos
, logo
Substituindo os números (colocando-os em notação científica para manter a clareza):
Calcule passo a passo:
Portanto obtemos
(em unidades de
).
Passo 4
Verificação rápida da aproximação e comentário didático.
- Se quisermos ver quão boa é a aproximação linear, calculamos
. - Então
. O termo quadrático é , ou seja da área total, mas em comparação ao aumento pedido (10%) esse termo é cerca de do aumento — pequeno, mas não nulo. - Solução exata (sem desprezar o termo quadrático) partiria de
portanto
- Conclusão da verificação: usando a definição direta com
(aproximação linear) obtemos ; a solução exata pela relação com dá . A diferença é pequena (cerca de ), o que confirma que a aproximação linear com é razoável e normalmente aceita nesse tipo de exercício escolar, especialmente porque o enunciado forneceu diretamente .
Passo 5
Resumo final e incentivo: usando a relação direta entre variação relativa de área e coeficiente superficial, achamos que é preciso aumentar a temperatura em
para obter um aumento de
na área da placa. Sei que o número parece grande — é normal; materiais metálicos têm coeficientes muito pequenos, então grandes aumentos de temperatura produzem poucas mudanças de dimensão. Força aí, você já entendeu o raciocínio e pode aplicar a mesma ideia a outros problemas parecidos!